Hovedindhold

Emne: (Grundlæggende algebra > Emne 7

Modul 4: Faktorisering af polynomier ved at finde fælles faktorer

Faktorisering af polynomier ved at finde fælles faktorer

Lær hvordan man faktoriserer en fælles faktor ud af et polynomisk udtryk. For eksempel, faktoriser vi 6x²+10x som 2x(3x+5).

Hvad du bør have styr på inden dette modul

SFF (Største Fælles Faktor) for to, eller flere, led er produktet af alle deres fælles primfaktorer. For eksempel, SFF for

6 x

4 x^{2}

2 x

Hvis dette er nyt for dig, bør du tjekke artiklen om største fælles faktorer for et-leddede udtryk.

Hvad du kommer til at lære i dette modul

I denne lektion lærer du at finde en fælles faktor i et polynomium og sætte det udenfor parentes.

Den distributive lov: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

For at forstå faktorisering - og dermed sætte største fælles faktor udenfor parentes - er vi nødt til at kende og forstå den distributive lov.

For eksempel kan vi bruge den distributive lov til at finde produktet af

3 x^{2}

4 x + 3

som vist nedenfor:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

Bemærk, at hvert led i den toleddede størrelse blev ganget med den fælles faktor

3 x^{2}

Den distributive lov kan også bruges den den anden vej!

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

Hvis vi starter med

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, kan vi bruge den distributive lov til at faktorisere

3 x^{2}

ud og sætte det udenfor parentes, så vi får

3 x^{2} (4 x + 3)

Svaret er nu i faktoriseret form, fordi det er skrevet som et produkt af to polynomier, mens det oprindelige udtryk er en sum af to led.

Tjek din forståelse

Opgave 1

Skriv $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ i faktoriseret form.

Sæt Største Fælles Faktor (SFF) udenfor parentes

For at sætte SFF udenfor parentes i gør vi følgende:

Find SFF for alle led i polynomiet.
Udtryk hvert led som et produkt af SFF og en anden faktor.
Brug den distributive lov til at sætte SFF udenfor parentes.

Lad os sætte SFF udenfor parentes i udtrykket

2 x^{3} - 6 x^{2}

Trin 1: Find SFF

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Så SFF for

2 x^{3} - 6 x^{2}

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Trin 2: Udtryk hvert led som et produkt af $2 x^{2}$ ‍ og en anden faktor.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Så polynomiet kan skrives som

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Trin 3: Sæt SFF udenfor parentes

Nu kan vi bruge den distributive lov til at faktorisere

2 x^{2}

ud.

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

Tjek af resultatet

Vi kan tjekke vores faktorisering ved at gange

2 x^{2}

tilbage i polynomiet.

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

Da vi får det oprindelige polynomium, er vores faktorisering korrekt!

Tjek din forståelse

Opgave 2

Faktorisér største fælles faktor for $12 x^{2} + 18 x$ ‍ ud.

Opgave 3

Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Opgave 4

Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Kan vi gøre det mere effektivt?

Hvis du føler dig tryg med processen omkring at faktorisere SFF ud, kan du bruge en hurtigere metode:

Når vi først kender SFF, er den faktoriserede form produktet af SFF og summen af leddene i det oprindelige polynomium divideret med SFF.

Se f.eks. hvordan vi bruger denne metode til hurtigt at faktorisere

5 x^{2} + 10 x

, hvor SFF er

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

To-leddede udtryk som fælles faktor

Den fælles faktor i et polynomium behøver ikke at være et enkelt led.

Tag f. eks. polynomiet

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Bemærk, at den toleddede størrelse

2 x - 1

er fælles for begge led. Så vi kan faktorisere det ud ved at bruge den distributive lov:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

Tjek din forståelse

Opgave 5

Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Forskellige former for faktorisering

Du synes muligvis, at vi har brugt ordet "faktorisering" til at beskrive flere forskellige processer:

Vi faktoriserede enkelte led ved at skrive dem som et produkt af andre et-leddede udtryk. For eksempel $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Vi faktoriserede SFF ud af polynomier ved hjælp af den distributive lov. For eksempel $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Vi faktoriserede fælles toleddede faktorer ud, som resulterede i et udryk, der er et produkt af to toleddede udtryk. For eksempel:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

Selv om vi har brugt forskellige metoder, har de alle det til fælles, at de blevet skrevet som et produkt af to eller flere faktorer. Så i alle tre eksempler, faktoriserer vi polynomiet.

Udfordrende opgaver

Opgave 6

Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Opgave 7

Et stort rektangel med et areal på

14 x^{4} + 6 x^{2}

kvadratmeter er opdelt i to mindre rektangler med arealer på

14 x^{4}

6 x^{2}

kvadratmeter.

Bredden på rektanglet (i meter) er lig med den største fælles faktor for

14 x^{4}

6 x^{2}

Hvad er længden og bredden af det store rektangel?

Bredde =

meter

Længde =

meter

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Grundlæggende algebra

Emne: (Grundlæggende algebra > Emne 7

Hvad du bør have styr på inden dette modul

Hvad du kommer til at lære i dette modul

Den distributive lov: a(b+c)=ab+ac‍

Tjek din forståelse

Sæt Største Fælles Faktor (SFF) udenfor parentes

Tjek din forståelse

Kan vi gøre det mere effektivt?

To-leddede udtryk som fælles faktor

Tjek din forståelse

Forskellige former for faktorisering

Udfordrende opgaver

Vil du deltage i samtalen?

Den distributive lov: $a (b + c) = a b + a c$ ‍