If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

ūĚĎí og sammensat rente

Sal introducerer et meget specielt tal i matematikens verden (og videre!), konstanten ūĚĎí. Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Lad os sige, at du er desperat og skal bruge 1 dollar. S√• du kommer til mig, den lokale l√•nehaj, og siger du skal l√•ne 1 dollar i 1 √•r. Jeg er i godt hum√łr og siger at jeg vil l√•ne dig 1 dollar i 1 √•r, for den lave rente af 100% per √•r. Hvor meget skal du s√• betale om 1 √•r? Du skal betale den oprindelige hovedstol, som du l√•nte plus 100% af den. Alts√• plus endnu 1 dollar. S√• det bliver naturligvis 2 dollars. Du siger, det er s√łrme meget. Jeg skal betale det dobbelte tilbage. Det er muligt, at jeg kan betale pengene tilbage efter 6 m√•neder. Hvad kan du s√• tilbyde mig Hr l√•nehaj? Jeg siger, hvis du er villig til at betale tilbage efter 6 m√•neder, s√• vil jeg kun forlange den halve rente i den halve tid. Hvis du l√•ner 1 dollar i 6 m√•neder, s√• skal du betale 50% i rente over 6 m√•neder. Det her var for 1 √•r. Hvor meget skal du nu betale? Du skal betale hovedstolen, som du l√•nte, 1 dollar plus 50% af 1 dollar. S√• plus 0,5 og det er naturligvis 1,50. Du siger, fint det lyder bedre. Men hvad nu, hvis jeg ikke har pengene til den tid? Hvis jeg nu alligevel skal bruge 1 √•r? Jeg siger, det kan vi sagtens finde ud af. Hvis du ikke har pengene, s√• kan du blot l√•ne pengene 6 m√•neder mere. Vi l√•ner dem til dig for endnu 6 m√•neder med samme 50% rente i de 6 m√•neder. S√• vil du skylde mig hovedstolen p√• 1,5 dollars plus 50% af denne hovedstol. plus 75 cents og det bliver 2,25. Du vil s√• skylde mig 2,25 dollars. Man kan ogs√• se p√• det s√•ledes, vi g√•r fra 1 dollar i den f√łrste termin, som du ganger med 1,5. Hvis noget vokser med 50%, s√• ganger vi med 1,5. N√•r det s√• vokser med endnu 50%, s√• ganger vi med 1,5 igen. Du kan se p√• de 50% i rente, som at gange med 1,5. Hvis du starter med 1 og ganger med 1,5 to gange, s√• f√•r du det samme. 2,25 er 1 ganget med 1,5 to gange. Gange 1,5 to gange er det samme som 1,5 opl√łftet til 2. Du kan ogs√• se det herover. Dette er det samme. 100% svarer til at gange med 2. Vi gangede med 1 + 1, alts√• med 2. Du kan ogs√• skrive det som 1 gange 2 opl√łftet til 1, fordi l√łbetiden er 1 √•r. Hvor kommer 2-tallet fra? Hvad betyder 100%? Det betyder, at du betaler det dobbelte. Du skal betale l√•net plus 100%. Du skal betale det dobbelte tilbage. Hvis nogen forlanger 50%, s√• skal du i hver termin betale det du l√•ner, det er 1-tallet plus 50% af det. Det er til 1,5 gange det du l√•nte. Du ganger med 1,5 hver gang. Vi kan omskrive det, s√• renten indg√•r i udtrykket. Dette svarer til 1 gange, renten svarer til 1 + 100% divideret med 1 termin opl√łftet til 1. Jeg ved godt, det ser fjollet ud, n√•r jeg skriver 1 plus 1 s√•dan. Men vi kan forts√¶tte p√• denne m√•de med flere terminer. Vi kan derfor omskrive denne her. Vi kan skrive 1‚ąô (1 + 100%) -- 100% er opdelt i 2 terminer, hver p√• 6 m√•neder, begge med 50% -- (1 + 100% /2) er det samme som 1,5. Det blev gjort i to terminer, alts√• opl√łftet til 2. -- lad mig vise terminerne i forskellig farver -- Du kan m√•ske begynde at se et m√łnster. Du er ikke helt glad ved dette, da 2,25 dollars er mere end de 2 dollars. Hvad hvis vi g√łr det for 12 m√•neder? S√• siger jeg ok, det kan vi sagtens. Efter hver m√•ned s√• opkr√¶ver jeg 100% divideret med 12 i rente. Det svarer til 8 1/3%. Du skal betale l√•net plus 8 1/3%, det svarer til at gange med 1,083. Efter 1 m√•ned skal du gange med 1,083. Efter 2 m√•neder --det er ikke helt i korrekt st√łrrelsesforhold -- Efter 2 m√•neder skal du igen gange med 1,083, som svarer til 1,083 opl√łftet til 2. Hvis du forts√¶tter til 12 m√•neder, alts√• 10 m√•neder mere. Hvad er den samlede bel√łb over 1 √•r, hvis du ikke kunne betale tilbage f√łr, s√• du bliver ved at l√•ne? Du skal betale 1,083 opl√łftet til -- 1,083 for den f√łrste m√•ned er opl√łftet til 1 og dette er 2 m√•neder -- s√• du skal betale 1,083 opl√łftet til 12. Den sammensatte rente over 12 terminer. 8 1/3% over 12 terminer. Lad os skrive det p√• denne form. Det svarer til hovedstolen gange (1 + 100% / 12). Husk, vi har opdelt de 100% i 12 terminer, s√• renten p√•l√¶gges 12 gange. Det skal derfor opl√łftes til 12. Hvad bliver det lig med? Vi m√• have fat i en lommeregner. Jeg henter min TI-85. Hvad bliver det lig med? Det kan udregnes p√• et par forskellige m√•der. 1,083 er et gentagende decimaltal. Vi kan g√łre det p√• flere m√•der, der alle giver samme resultat. Forh√•bentlig kan du se opbygningen af udtrykket. (1 + -- 100% er det samme som 1 -- s√• 1/12)¬Ļ¬≤, det er lig 2,613. Jeg afrunder til 2,613. Du syntes dette er s√• sp√¶ndende, at du n√¶sten glemmer du har penge problemer. Du er s√• fascineret af hvad der mon sker hvis vi forts√¶tter! Her har vi 100%. Her har vi 50% for hver 6 m√•neder. Her har vi 1/12 af 100%, 8 1/3% hver m√•ned i 12 m√•neder og vi f√•r dette tal. Hvad hvis vi g√łr det hver dag? Hvis du l√•ner 1 dollar og du skal betale 1/365 af 100% hver dag? 100% divideret med 365. Det g√łr vi s√• 365 gange. Du er matematisk nysgerrig og siger derfor, hvad f√•r vi s√•? Hvad bliver det efter 1 √•r? Du har hovedstolen -- jeg laver lige lidt mere plads -- 1(1 + 100% /365). Men vi skal finde den sammensatte rente. Vi ganger med (1 + 100% /365) for hver dag l√•net ikke er tilbage betalt. Det skal derfor opl√łftes til 365. Du siger, at opl√łfte noget til 365, det bliver et k√¶mpe stort tal. Men m√•ske er det ikke s√• slemt, da 100 divideret med 365 er et lille tal. Denne ting m√• blive t√¶t p√• 1. N√•r vi opl√łfter 1 til noget, s√• bliver det jo ikke k√¶mpe stort. Lad os se hvad det bliver. Dette er et samme som 1 plus 100% er det samme som 1 divideret med 365 opl√łftet til 365. Vi f√•r 2,71456. En temmelig pr√¶cis afrunding er 2,7145675. Men tallet forts√¶tter alts√•. Det ser interessant ud. Det ser ud til at, n√•r vi laver st√łrre og st√łrre tal her, s√• bliver det ikke et fuldst√¶ndig vanvittigt stort tal. Det ser ud som om det n√¶rmer sig et magisk mystisk tal. Og det g√łr det. Hvis du dividerer 100% med st√łrre og st√łrre tal og du opl√łfter det til dette tal, s√• vil du n√¶rme dig det m√•ske mest magiske og mystiske tal af alle tal. Tallet e. Du kan se lige her p√• lommeregneren. Der st√•r e opl√łftet til x. Jeg opl√łfter det til 1, s√• du kan se lommeregnerens v√¶rdi af det. Du har allerede set at (1 + 1/365) opl√łftet til 365 er ret t√¶t p√• v√¶rdien af e. Jeg opforderer dig til at pr√łve selv med st√łrre og st√łrre tal og se, at du kommer t√¶ttere og t√¶ttere p√• dette magiske mysterium. Det er lige f√łr du ikke har noget imod at betale l√•nehajen e dollars, da det er s√•dan et smukt tal.