If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Bevis for logaritmeregnereglerne

Her kan du se beviser for de tre logaritmeregneregler.
I denne lektion skal vi udlede de tre logaritmeregler. Men før vi går i gang, så skal vi huske:
logb(bc)=c
En logaritme med grundtal b gør det omvendte af at opløfte grundtallet b til en potens!
Denne sammenhæng er vigtig at huske på.

1. logaritmeregel: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Lad os først vise med et eksempel, at reglen virker — her med M=4, N=8 og b=2.
Når vi indsætter disse værdier i logb(MN), fås:
log2(48)=log2(2223)22=4 og 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)da 2=log2(4) og 3=log2(8)
Dermed er log2(48)=log2(4)+log2(8).
Dette er selvfølgelig kun et eksempel, så lad os derfor bruge logisk tænkning til at vise, at reglen gælder generelt.
I eksemplet blev 4 og 8 omskrevet til potenser af 2. Det var en vigtig del af beviset, så lad os gøre det samme generelt. M og N er potenser af logaritmens grundtal b. Hvis M=bx og N=by, hvor x og y er reelle tal, så følger...
...per definition, at logb(M)=x og logb(N)=y.
Nu har vi:
logb(MN)=logb(bxby)Indsæt=logb(bx+y)Potensregneregel=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)Indsæt

2. logaritmeregel: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Beviset for denne regel følger samme princip som for den 1. logaritmeregel.
Hvis M=bx og N=by, så er logb(M)=x og logb(N)=y.
Hvorefter 2. logaritmeregel kan udledes:
logb(MN)=logb(bxby)Indsæt=logb(bxy)Potensregneregel=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)Indsæt

3. logaritmeregel: logb(Mp)=plogb(M)

Denne gang er det kun M, der indgår i reglen. Hvis M=bx, så er logb(M)=x.
Hvorefter 3. logaritmeregel kan udledes:
logb(Mp)=logb((bx)p)Indsæt=logb(bxp)Potensregneregel=xplogb(bc)=c=logb(M)pIndsæt=plogb(M)Kommutative lov
Vi kan faktisk også udlede den 3. logaritmeregel ved at bruge den 1. logaritmeregel.
Da logb(Mp)=logb(MMM), hvor M bliver ganget med sig selv p gange.
Husk, en potens svarer til at gange et tal med sig selv et vist antal gange.
logb(Mp)=logb(MMM)Definition af en potens=logb(M)+logb(M)++logb(M)1. logaritmeregel=plogb(M)Gentagende addition svarer til multiplikation
Sådan! Vi har nu udledt de tre logaritmeregneregler.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.