Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Sammensatte funktioner

I denne artikel gennemgås eksempler, forklaringer og øveopgaver, hvor du kan lære at skrive og udregne sammensatte funktioner.
Hvis vi har to funktioner, kan vi kombinere dem, så output af den ene funktion bliver input i den anden. Dette kaldes en sammensat funktion. Lad os tage et kig på, hvad det egentlig betyder!

Udregning af sammensatte funktioner

Eksempel

Hvis f(x)=3x1 og g(x)=x3+2, hvad er f(g(3))?

Løsning

En måde at udregne f(g(3)) på er at starte "indefra". Lad os først udregne værdien af den indre funktion g(3) og indsætte svaret i f for at udregne det endelige svar.
Lad os udregne g(3).
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Indsæt x=3.=29
Da g(3)=29, så f(g(3))=f(29).
Lad os nu udregne f(29).
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               Indsæt x=29.=86
Vi kan derfor udlede, at f(g(3))=f(29)=86.

Opstilling af den sammensatte funktion

I ovenstående eksempel tog funktionen g et input på 3 og gav os et output på 29, hvorefter funktionen f tog et input på 29 og gav os et output på 86. Lad os opstille den funktion, der kan tage et input på 3 og give os et output på 86.
Det kan vi gøre ved at sammensætte de to funktioner og bestemme f(g(x)).

Eksempel

Hvad er f(g(x))?
Husk, f(x)=3x1 og g(x)=x3+2.

Løsning

Når vi kigger på forskriften f(g(x)), kan vi se, at g(x) er input i funktionen f. Lad os indsætte g(x) i forskriften for funktionen f alle steder, vi ser x.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1
Da g(x)=x3+2, kan vi erstatte g(x) med x3+2.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5
Den nye funktion bør tage 3 direkte til 86. Lad os tjekke, om det er korrekt.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
Fremragende!

Lad os øve os!

Opgave 1

f(x)=3x1
g(x)=x3+2
Udregn g(f(1)).
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 2

m(x)=3x2
n(x)=x+4
Skriv m(n(x)).

Sammensatte funktioner: en definition

I eksemplet ovenfor skrev og udregnede vi en sammensat funktion.
Den generelle definition af en sammensat funktion er fg, der læses som "f bolle g". Følgende to udtryk er per definition de samme,
(fg)(x)=f(g(x))
Diagrammet nedenfor viser sammenhængen mellem (fg)(x) og f(g(x)).
Lad os lave endnu et eksempel, hvor vi bruger den nye notation.

Eksempel

g(x)=x+4
h(x)=x22x
Skriv (hg)(x) og udregn (hg)(2).

Løsning

Vi kan skrive (hg)(x) således:
(hg)(x)=h(g(x))Definition=(g(x))22(g(x))Indsæt g(x) i stedet for x i h.=(x+4)22(x+4)Erstat g(x) med x+4.=x2+8x+162x8Udregn parenteserne=x2+6x+8Samle ens led
Da vi nu har funktionen hg, kan vi indsætte 2 i stedet for x og dermed udregne (hg)(2).
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0
Vi kunne også have udregnet (hg)(2) ved at udregne h(g(2)). Det er vist nedenfor:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Da g(2)=2+4=2=0             Da h(2)=222(2)=0
Diagrammet nedenfor viser sammenhængen mellem (hg)(2) og h(g(2)).
Vi kan se, at funktionen g tager 2 til 2 og funktionen h tager 2 til 0, hvor imod funktionen hg tager 2 direkte til 0.

Lad os løse nogle opgaver

Opgave 3

f(x)=3x5
g(x)=32x
Udregn (gf)(3).
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

I opgave 4 og 5 bruges, at f(t)=t2 og g(t)=t2+5.

Opgave 4

Skriv (gf)(t).

Opgave 5

Skriv (fg)(t).

Udfordrende opgave

Graferne for ligningerne y=f(x) og y=g(x) er vist i koordinatsystemet nedenfor.
Hvad er det bedste bud på værdien af (fg)(8)?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.