Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Introduktion til at sammensætte funktioner

Lær hvorfor vi ønsker at sammensætte to funktioner ved at se på nogle eksempler fra hverdagen.

Carl er landmand. Hvert år dyrker han majs på nogle af sine marker. Funktionen vist nedenfor modellerer den mængde majs, C, i kilogram (kg), som han forventer at producere, hvis han dyrker majs på a hektar jord.
C(a)=7500a1500
Hvis Carl for eksempel dyrker majs på to hektarer, så forventer han at producere C(2)=7500(2)1500=13.500 kg majs.
Men Carl vil hellere vide, hvor mange penge han vil tjene, når han har solgt majsen. Han bruger følgende funktion til at forudsige, hvor mange penge M, i kroner, han vil tjene, når han sælger c kilogram majs.
M(c)=0,9c50
Hvis Carl producerer 13.500 kg majs, kan han forvente at tjene M(13.500)=0,9(13.500)50=12.100 kroner.
Carl brugte to forskellige funktioner for at gå fra hektar dyrket jord til forventet indtjening. Den første funktion C tager dyrket hektar og giver kilogram majs, mens den anden funktion M tager kilogram majs og giver kroner i indtægt.
Ville det ikke være skønt, hvis Carl kunne lave en funktion, der går direkte fra hektar til forventet indtjening?

Opstille en ny funktion

Vi kan faktisk skrive en funktion, der går direkte fra hektar til forventet indtjening! For at skrive denne nye funktion skal vi besvare et spørgsmål: hvor mange penge forventer Carl at tjene, hvis han dyrker majs på a hektarer?
Hvis Carl dyrker a hektarer, så forventer han at producere C(a) kilogram majs. Og hvis han producerer C(a) kilogram, forventer han at tjene M(C(a)) kroner.
For at lave den direkte beregning fra a hektarer til forventet indtjening, så skal vi opstille en forskrift for M(C(a)).
Men hvordan gør vi det? Bemærk, i forskriften M(C(a)) indsættes C(a) i M. Vi kan derfor finde frem til forskriften ved at erstatte c med C(a) i funktionen for M.
M(c)=0,9c50M(C(a))=0,9(C(a))50=0,9(7500a1500)50          Da C(a)=7500a1500=6750a135050=6750a1400
Funktionen M(C(a))=6750a1400 går direkte fra hektarer til forventet indtjening. Lad os bruge denne nye funktion til at forudsige, hvor mange penge Carl vil tjene, hvis han dyrker majs på to hektarer.
M(C(2))=6750(2)1400=12.100 kr.
Carl kan forvente at have en indtjening på 12.100 kr., hvis han dyrker majs på to hektarer, hvilket svarer til vores tidligere beregning!

Definition af sammensatte funktioner

Vi har lige lavet det, man kalder en sammensat funktion. I stedet for at indsætte hektarer med majs i funktionen for majs og dernæst indsætte mængden af majs i funktionen for indtjening, så fandt vi frem til en funktion der gik direkte fra hektarer med majs til forventet indtjening.
Det gjorde vi ved, at indsætte C(a) i funktionen M eller ved at bestemme M(C(a)). Vi kan skrive den nye funktion som MC, der læses som "M bolle C".
Vi ved, at (MC)(a)=M(C(a)). Dette er faktisk den generelle definition af en sammensat funktion!

Visualisering af de to metoder

Diagrammet nedenfor visualiserer de to metoder.
Når vi bruger begge funktioner C og M, tager C—majs funktionen—2 hektarer og giver os 13.500 kg. Hvorefter funktionen M—indtjeningsfunktionen—tager 13.500 kg og giver os 12.100 kr.
Når vi bruger den sammensatte funktion MC går vi direkte fra to hektarer til 12.100 kr.
De to metoder svarer til hinanden!

Lad os løse nogle opgaver.

Opgave 1

Brug funktionerne fra eksemplet ovenfor til at bestemme, hvor stor en indtjening Carl kan forvente, hvis han dyrker majs på 1,5 hektarer?
Husk: C(a)=7500a1500, M(c)=0,9c50 og M(C(a))=6750a1400
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
kroner

Opgave 2

Bo er kartoffelavler. Funktionen P(a)=25.000a1000 modellerer mængden af kartofler, P, i kilogram, som han forventer at producere, når han dyrker kartofler på a hektarer. Funktionen M(p)=0,2p200 modellerer, hvor mange penge, M, i korner, Bo vil tjene, når han sælger p kilogram kartofler.
Hvor mange penge kan Bo forvente at tjene, når han sælger kartoferne dyrket på 3 hektarer?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 3

Hviket af nedenstående udtryk svarer til det beløb Bo kan forvente at tjene, hvis han dyrker kartofler på a hektarer?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.