Introduktion til minimum- og maksimumpunkter

Her har jeg tegnet grafen for funktionen y er lig med f(x). Jeg har tegnet grafen over dette interval mellem 0 og en positiv værdi. Lad os se på maksimum og minimum værdier på denne graf. Vi har allerede snakket en smule om globalt maksimum og globalt minimum i et interval og de er ret tydelige. Der er et maksimum her helt i starten af vores interval. Når x er lig med 0, så er der et globalt maksimum for intervallet. og det globale minimum punkt for intervallet er ved det andet yderpunkt. Hvis dette er a, dette er b, så er det globale minimum er f(b). Og det globale maksimum punkt er f(a), hvor a er omkring 0. men du tænker sikkert, der er nogen interessante punkter herovre. Det punkt herovre er ikke det største. Vi snakker ikke om den værdi herovre. Det er klart ikke den største værdi som funktionen har i intervallet. Men i forhold til de andre værdier omkring den er det en lille bakke, der har større værdier end de andre punkter. Lokalt er det et maksimum og det er derfor at værdien her kaldes -- lad os sige det er c, så f(c) -- et lokalt maksimum. Vi siger lokalt fordi funktionen tydeligvis antager andre værdier der er større end det men for x værdier tæt på c, er f(c) større end alle de andre. På samme vis, hvis det punkt her er d, så er f(d) et lokalt minimumpunkt eller en lokal minimumværdi. Over hele intervallet er der andre punkter, der er lavere. Vi har et globalt minimum for intervallet ved x er lig med b, men der er et lokalt minimum, fordi det er lavere end andre x værdier omkring d. Funktionsværdierne omkring det er større. Det er nemt for mig at sige, at et lokalt maksimum har en større funktionsværdi end nogen af de omkringliggende værdier og et lokalt minimum har lavere værdier end de omkringliggende værdier, Men hvordan kan vi skrive det matematisk? Her er definitionen, som er en formel måde at sige, hvad jeg lige har sagt. f(c) er et lokalt maksimum, hvis f(c) er større end eller lig med f(x) for alle x nær c. Men det er ikke præcist, for hvad betyder det at være nær c? En mere præcis måde at sige det på er, for alle x i et åbent interval fra c minus h til c plus h, hvor h er en værdi større end 0. Giver det mening? Lad os kigge på det. Lad os lave et åbent interval. Du skal finde et åbent interval og der kan være mange intervaller, hvor dette er sandt. Hvis vi laver et åbent interval, hvor værdien her er c plus h og værdien herovre er c minus h, så kan du se, at i dette interval er f(c) større end alle andre funktionsværdier. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause, så du kan skrive hvad den formelle definition af et lokalt minimumspunkt er. Lad os bruge d som et lokalt minimum. f(d) er et lokalt minimumpunkt, hvis f(d) er mindre end eller lig med f(x) for alle x i et åbent interval mellem d minus h og d plus h, hvor h er større end 0. Så du kan finde et interval her. Lad os sige, at dette er d plus h, og dette er d minus h. Funktionen f(d) over dette interval er altid mindre end eller lig med enhver af de andre værdier, for f(x) i intervallet. Det er derfor vi siger det er et lokalt minimumpunkt. Så på hverdagssprog siges, lokalt maksimum er hvis funktionen antager en større værdi ved c end for alle x nær c. For lokalt minimum, hvis funktionen antager en mindre værdi ved d end for alle x nær d.