Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Brug en sammensat funktion til at afgøre om funktioner er hinandens inverse

Lær at kontrollere, om to funktioner er hinandens inverse ved at sammensætte dem. Er f(x) =5x-7 og g(x) =x/5+7 hinandens inverse funktioner?
Denne artikel indeholder en masse sammensatte funktioner. Hvis du har brug for en gennemgang af dette emne, anbefaler vi at du går hertil før du læser denne artikel.
Inverse funktioner er grundlæggende funktioner, der "omvendte" af hinanden. For eksempel, hvis en funktion tager a til b, så skal den inverse funktion tage b til a.
Lad os se på funktionerne f og g, hvor f(x)=x+13 og g(x)=3x1.
Læg mærke til hvordan f(5)=2 og g(2)=5.
Her ser vi, at når vi anvender f efterfulgt af g, ender vi med det oprindelige input. Det kan vi skrive som den sammensatte funktion g(f(5))=5.
For at to funktioner kan være hinandens inverse, skal vi vise, at dette gælder for alle inputs, uanset i hvilken rækkefølge f og g anvendes. Dette kaldes også reglen om den invers sammensatte.

Reglen om den invers sammensatte

Betingelserne for, at to funktioner f og g kan være hinandens inverse, er:
  • f(g(x))=x for alle x i g's definitionsmængde
  • g(f(x))=x for alle x i f's definitionsmængde
Dette skyldes, at hvis f og g er hinandens inverse, vil en sammensætning af f og g (uanset rækkefølge) skabe den funktion, som for hvert input returnerer samme input. Vi kalder denne funktion “identitetsfunktionen".

Eksempel 1: Funktionerne f og g er hinandens inverse

Lad os bruge reglen om den invers sammensatte til at kontrollere, at f og g ovenfor faktisk er hinandens inverse funktioner.
Vi husker, at f(x)=x+13 og g(x)=3x1.
Lad os bestemme f(g(x)) og g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x
Så vi ser, at funktionerne f og g er hinandens inverse, fordi f(g(x))=x og g(f(x))=x.

Eksempel 2: Funktionerne f og g er ikke hinandens inverse

Hvis f(g(x)) eller g(f(x)) ikke er lig med x, så kan f og g ikke være hinandens inverse.
Lad os se på funktionerne f(x)=5x7 og g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285
Så funktionerne f og g er ikke hinandens inverse, fordi f(g(x))x og g(f(x))x.
Bemærk her, at vi kunne have konkluderet, at f og g ikke var hinandens inverse efter at have vist, at f(g(x))=x+28.

Tjek din forståelse

Vi kan altså kontrollere, om f og g er hinandens inverse funktioner ved at sammensætte dem. Hvis resultatet er x - uanset rækkefølge, er funktionerne hinandens inverse. Ellers, er de ikke.

1) f(x)=2x+7 og h(x)=x72

Skriv reducerede udtryk for f(h(x)) og h(f(x)) udtrykt i x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Er funktionerne f og h hinandens inverse?
Vælg 1 svar:

2) f(x)=4x+10 og g(x)=14x10

Skriv reducerede udtryk for f(g(x)) og g(f(x)) udtrykt i x.
f(g(x))=
g(f(x))=
Er funktionerne f og g hinandens inverse?
Vælg 1 svar:

3) f(x)=23x8 og h(x)=32(x+8)

Skriv reducerede udtryk for f(h(x)) og h(f(x)) udtrykt i x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Er funktionerne f og h hinandens inverse?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.