Hovedindhold

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Modul 26: Grafer for polynomier

Grafer for polynomier

Analyse af polynomier for at skitsere deres graf.

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Ende-adfærden for funktionen

f

beskriver, hvordan grafen for funktionen ser ud i hver "ende" af

x

-aksen. Man kan bestemme funktionens ende-adfærd algebraisk ved at besvare følgende to spørgsmål:

Når $x \to + \infty$ ‍, hvad går $f (x)$ ‍ mod?
Når $x \to - \infty$ ‍, hvad går $f (x)$ ‍ mod?

Hvis dette er nyt for dig, anbefaler vi, at du tjekker vores artikel Polynomiers ende-adfærd.

Nulpunkterne i funktionen

f

svarer til skæring med

x

-aksen. Når multipliciten af et nulpunkt er et ulige tal, så vil grafen skære

x

-aksen i dette nulpunkt. Tilsvarende når multipliciten af et nulpunkt er et lige tal, så vil grafen røre

x

-aksen i dette nulpunkt.

Hvis dette er nyt for dig, anbefaler vi, at du tjekker vores artikel Nulpunkter i polynomier og deres grafer.

Hvad du kan lære i dette modul

I denne artikel skal vi bygge videre på ovenstående viden til at skitsere grafer for polynomier og bruge disse skitser til at bestemme de intervaller, hvor polynomiets funktionsværdi er positiv eller negativ.

Analyse af polynomielle funktioner

Lad os analysere forskellige egenskaber ved grafen for polynomiet

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

Skæring med $y$ ‍-aksen

Man bestemmer skæring med

y

-aksen af grafen for

f

ved at udregne

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

Grafen for ligningen

y = f (x)

har skæring med

y

-aksen i punktet

(0, - 8)

Skæring med $x$ ‍-aksen

Man bestemmer skæring med

x

-aksen ved at løse ligningen

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & eller x + 2 & = 0 & Nulreglen \\ x & = \frac{2}{3} & eller x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

Grafen for ligningen

y = f (x)

har skæring med

x

-aksen i punkterne

(\frac{2}{3}, 0)

(- 2, 0)

Ydermere, kan vi ud fra forskriften se, at

\frac{2}{3}

er et nulpunkt med en multiplicitet på

1

- 2

er et nulpunkt med en multiplicet på

2

. Vi ved derfor, at grafen vil skære

x

-aksen i punktet

(\frac{2}{3}, 0)

, men røre

x

-aksen i punktet

(- 2, 0)

Analyse af ende-adfærd

Funktionens ende-adfærd kan bestemmes ved at bruge højestegradsleddets grad og fortegn, når forskriften er skrevet på strandardform.

Lad os derfor omskrive forskriften til standardform.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

Når forskriften er skrevet på standardform, så er højestegradsleddet det første led i forskriften, men man kan naturligvis finde det uden.

Da vi kun skal kende højestegradsleddet (og ikke nødvendigvis resten af polonomiet), så kan vi i stedet bestemme produktet af højestegradsleddet i hver parentes.

For funktionen

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

, skal vi gange

3 x

i den første parentes med

x^{2}

i den anden parentes. Højestegradsleddet bliver

3 x^{3}

Polynomiets højestegradsled er

3 x^{3}

. Derfor vil

f

have samme ende-adfærd som den ét-leddet størrelse

3 x^{3}

Graden er ulige og koefficienten er positiv. Derfor har

f

følgende ende-adfærd: når

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

og når

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

Skitsering af grafen

Nu kan vi bruge disse egenskaber til at skitsere grafen for ligningen

y = f (x)

Lad os først bruge grafens ende-adfærd:

Når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
Når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Det betyder, at i "enderne" vil grafen se ud som grafen for ligningen

y = x^{3}

Nu kan vi tilføje, hvad vi ved om skæring med

x

-aksen:

Grafen rører $x$ ‍-aksen i $(- 2, 0)$ ‍, da $- 2$ ‍ er et nulpunkt med en lige multiplicitet.
Grafen skærer $x$ ‍-aksen i $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, da $\frac{2}{3}$ ‍ et nulpunkt med en ulige multiplicitet.

Til sidst afbilder vi skæring med

y

-aksen i

(0, - 8)

og fylder mellemrummene ud med en blød uafbrudt kurve.

Vi skal huske, dette er en skitse af grafen ikke dens præcise beliggenhed og form. Men skitsen giver os en god fornemmelse af funktionens opførsel.

Positive og negative intervaller

Nu da vi har skitseret grafen for

f

, er det nemt at bestemme i hvilke intervaller

f

er positiv og i hvilke den er negativ.

Vi kan aflæse, at

f

er positiv, når

x > \frac{2}{3}

og negativ, når

x < - 2

eller

- 2 < x < \frac{2}{3}

Tjek din forståelse

1) Du skal nu skitsere grafen for

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

trin for trin.

a) Hvor har grafen for $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ skæring med $y$ ‍-aksen?
$(0$ ‍,
Dit svar skal være
et heltal, f.eks. $6$ ‍
en reduceret, ægte brøk, f.eks. $3 / 5$ ‍
en reduceret, uægte brøk, f.eks. $7 / 4$ ‍
et blandet tal, f.eks. $1 3 / 4$ ‍
et eksakt decimaltal, f.eks. $0, 75$ ‍
et multiplum af pi, som f.eks. $12 pi$ ‍ eller $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

b) Hvilken ende-adfærd har grafen for $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Vælg 1 svar:
(Valg A)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg B)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Valg C)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg D)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Funktionens ende-adfærd kan bestemmes ved at bruge højestegradsleddets grad og fortegn, når forskriften er skrevet på strandardform.
Lad os derfor omskrive forskriften til standardform.
$\begin{aligned} g (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ g (x) & = (x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) \\ g (x) & = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + x^{2} + 3 x - 10 \\ g (x) & = x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 \end{aligned}$ ‍
Polynomiets højestegradsled er $x^{3}$ ‍. Derfor vil $g$ ‍ have den samme ende-adfærd som $x^{3}$ ‍.
Da højestegradsleddets grad er ulige og koefficienten er positiv. Derfor har $g$ ‍ følgende ende-adfærd: når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

c) Hvor har grafen for $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ skæring med $x$ ‍-aksen?
Vælg 1 svar:
(Valg A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍ og $(5, 0)$ ‍
(Valg B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍ og $(- 5, 0)$ ‍

d) Hvilken af nedenstående grafer kunne være grafen for $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Vælg 1 svar:
(Valg A)
(Valg B)
(Valg C)
(Valg D)

Nu bruger vi disse egenskaber til at skitsere grafen for ligningen $y = g (x)$ ‍.
Efter vi har afbildet skæring med $y$ ‍-aksen, ende-adfærd og nulpunkter, har vi:
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. Fire punkter er afbildet. Tre ligger på x aksen og er mærket minus 5 komma 0, minus 1 komma 0 og 2 komma 0. Det fjerde ligger på y aksen og er mærket 0 komma minus 10. Noget af en graf er afbildet. En delvis graf kommer op fra venstre i den tredje kvadrant. En delvis graf er vist ved x er lig minus 5, hvor den skærer x aksen mens den går opad. En delvis graf er vist ved x er lig minus 1, hvor den skærer x aksen mens den går nedad. En delvis graf er vist ved x er lig 2, hvor den skærer x aksen mens den går opad. En delvis graf er vist i første kvadrant. Den går opad.
Det er nu muligt at fylde mellemrummene ud med en blød uafbrudt kurve og se grafen for polynomiet.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. Fire punkter er afbildet. Tre ligger på x aksen og er mærket minus 5 komma 0, minus 1 komma 0 og 2 komma 0. Det fjerde ligger på y aksen og er mærket 0 komma minus 10. Noget af en graf er afbildet. En delvis graf kommer op fra venstre i den tredje kvadrant. En delvis graf er vist ved x er lig minus 5, hvor den skærer x aksen mens den går opad. En delvis graf er vist ved x er lig minus 1, hvor den skærer x aksen mens den går nedad. En delvis graf er vist ved x er lig 2, hvor den skærer x aksen mens den går opad. En delvis graf er vist i første kvadrant. Den går opad. De fem delvise grafer er forbundet med en blød stiplet kurve, der også går gennem det punkt, der ligger på y aksen.
Det korrekte svar er altså graf $A$ ‍.

2) Hvilken af nedenstående grafer kunne være grafen for ligningen $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

Lad os bestemme skæring med både

y

- og

x

-akse samt ende-adfærd for grafen for ligningen

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

. Hvorefter vi kan bruge disse egenskaber til at skitsere grafen.

Skæring med $y$ ‍-aksen

Man bestemmer skæring med

y

-aksen ved at indsætte

0

i stedet for

x

og løse for

y

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - 0) (0 + 1)^{2} \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

Skæring med

y

-aksen er i punktet

(0, 2)

Skæring med $x$ ‍-aksen

Man bestemmer skæring med

x

-aksen ved at indsætte

0

i stedet for

y

og løse for

x

\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 0 & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 2 & - x = 0 eller x + 1 = 0 \\ x & = 2 eller x = - 1 \end{aligned}

Grafen vil røre

x

-aksen i

(- 1, 0)

, da

- 1

er et nulpunkt med en lige multiplicitet. Grafen vil skære

x

-aksen i

(2, 0)

, da

2

er et nulpunkt med en ulige multiplicitet.

Ende-adfærd

Højestegradsleddet bestemmer funktionens ende-adfærd. Når forskriften skrives på standardform fås:

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) \\ y & = 2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{3} - 2 x^{2} - x \\ y & = - x^{3} + 3 x + 2 \end{aligned}$ ‍

Derfor vil grafen for ligningen

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

have den samme ende-adfærd som grafen for ligningen

y = - x^{3}

Derfor har grafen følgende ende-adfærd: når

x \to + \infty

y \to - \infty

, og når

x \to - \infty

y \to + \infty

Skitsering af grafen

Når vi bruger disse egenskaber til at skitserer grafen, kan kun svarmulighed

D

være korrekt.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra (Bibliotek)

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kan lære i dette modul

Analyse af polynomielle funktioner

Skæring med y‍ -aksen

Skæring med x‍ -aksen

Analyse af ende-adfærd

Skitsering af grafen

Positive og negative intervaller

Tjek din forståelse

Vil du deltage i samtalen?

Skæring med $y$ ‍-aksen

Skæring med $x$ ‍-aksen