Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

For eksempel, løs x² + 6x = -2 ved at omskrive det til x² + 6x = -2 og derefter tage kvadratroden på begge sider.

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kommer til at lære i denne lektion

Indtil videre har du enten løst andengradsligninger ved at tage kvadratroden eller ved faktorisering. Disse metoder er forholdsvis enkle og effektive, når det er relevant. Det er desværre ikke altid, at de kan anvendes.
I denne lektion vil du lære en metode til at løse enhver form for andengradsligning.

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

Betragt ligningen x2+6x=2. Vi kan ikke løse denne ligning ved at tage kvadratroden eller ved at faktorisere.
Men håbet er ikke ude! Vi kan bruge en metode, som hedder kvadratkomplettering, hvor vi bruger kvadratsætningerne til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse. Lad os starte med løsningen og derefter gennemgå det i dybden.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Læg 9 til på begge sider, så venstre side kan omskrives.(3)(x+3)2=7Omskriv venstre side til kvadratet på en toleddet størrelse.(4)(x+3)2=±7Tag kvadratroden på begge sider.(5)x+3=±7(6)x=±73Træk 3 fra på begge sider.
Løsningerne er x=73 og x=73.

Hvad skete der her?

Målet med lægge 9 til x2+6x i række (2) havde det heldige resultat, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse, (x+3)2. På denne form kunne vi løse ligningen ved at tage kvadratroden.
Det var naturligvis ikke tilfældigt. Tallet 9 blev nøje udvalgt, så det resulterende udtryk kunne faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse.

Hvordan bruger vi kvadratkomplettering

For at forstå, hvorfor 9 blev valgt, bør vi stille os selv følgende spørgsmål: Hvis x2+6x er begyndelsen til kvadratet på en toleddet størrelse, hvad skal konstantleddet så være?
Lad os antage, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse, (x+a)2, hvor værdien af konstanten a stadig er ukendt. Dette udtryk kan ganges ud til x2+2ax+a2, hvilket fortæller os to ting:
  1. Koefficienten for x, som vi ved er 6, svarer til 2a. Det betyder, at a=3.
  2. Det konstante led, som vi skal lægge til, svarer til a2, som er 32=9.
Prøv selv at bestemme de konstante led, som skal lægges til, for at kunne omskrive nedenstående udtryk til kvadratet på en toleddet størrelse.
Opgave 1
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x2+10x ?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 2
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x22x ?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 3
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x2+12x ?
  • Dit svar skal være
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5

Udfordrende opgave
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x2+bx?
Vælg 1 svar:

Denne udfordring giver os en genvej til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse (for dem der kan lide genveje og ikke har noget imod huske ting): Den viser os, at for at omskrive x2+bx kvadratet på en toleddet størrelse, hvor b er et givent tal, skal vi lægge (b2)2 til.
For eksempel, for at omskrive x2+6x til kvadratet på en toleddet størrelse, lægger vi (62)2=9 til det.

Løsning af ligninger én gang til

Okay! Nu hvor du er certificeret i kvadratkomplettering, så lad os gå tilbage til processen med at løse ligninger ved at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse.
Lad os se på et nyt eksempel, ligningen x210x=12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Læg 25 til på begge sider.(3)(x5)2=13Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse.(4)(x5)2=±13Tag kvadratroden på begge sider.(5)x5=±13(6)x=±13+5læg 5 til på begge sider.
For at omskrive det oprindelige udtryk på venstre side, x210x, til kvadratet på en toleddet størrelse, lagde vi 25 til i række (2). Som altid i ligninger så gjorde vi det samme på den højre side, hvilket ændrede 12 til 13.
Helt generelt afhænger valget af tallet, som vi lægger til for at kunne omskrive til kvadratet på toleddet størrelse, ikke af højre side, men vi skal altid huske at lægge tallet til på begge sider.
Nu er det din tur til at løse nogle ligninger.
Opgave 4
Løs x28x=5.
Vælg 1 svar:

Opgave 5
Løs x2+3x=14.
Vælg 1 svar:

Før du omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse

Regel 1: Adskil de variable led fra det konstante led

Her vises, hvordan vi løser ligningen x2+5x6=x+1:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Træk x fra på begge sider.(3)x2+4x=7Læg 6 til på begge sider.(4)x2+4x+4=11Læg 4 til på begge sider.(5)(x+2)2=11Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse.(6)(x+2)2=±11Tag kvadratroden på begge sider.(7)x+2=±11(8)x=±112Træk 2 fra på begge sider.
At omskrive en af ligningens sider til kvadratet på en toleddet størrelse er ikke nyttigt, hvis vi har et x-led på den anden side. Det er derfor, vi trak x fra i række (2), så vi fik alle de variable led over på venstre side.
For at omskrive x2+4x til kvadratet på en toleddet størrelse, skal vi lægge 4 til, men før vi gør det, skal vi sørge for, at alle konstante led er på den anden side af ligningen. Det er derfor, vi lægger 6 til i række (3), så x2+4x står for sig selv.

Regel 2: Sørg for at koefficienten foran x2 er lig med 1.

Her vises, hvordan vi løser ligningen 3x236x=42:
(1)3x236x=42(2)x212x=14Divider med 3 på begge sider.(3)x212x+36=22Læg 36 til på begge sider.(4)(x6)2=22Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse. (5)(x6)2=±22Tag kvadratroden på begge sider.(6)x6=±22(7)x=±22+6Læg 6 til på begge sider.
Metoden med at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse virker kun, hvis koefficienten foran x2 er 1.
Det er derfor vi i række (2) dividerede med koefficienten for x2, som er 3.
Nogle gange, når vi dividerer med koefficienten for x2, bliver resultatet, at de andre led i ligningen bliver brøker. Det betyder ikke, at du har gjort noget forkert, men at du skal arbejde med brøker i din omskrivning.
Nu er det din tur til at løse en ligning som denne.
Opgave 6
Løs 4x2+20x3=0.
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.