Hovedindhold

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 9

Modul 7: Løsningsformlen for andengradsligninger

Forstå løsningsformlen for andengradsligninger

Få mere indsigt i løsningsformlen, og hvordan den bruges i andengradsligninger

Løsningsformlen for andengradsligninger hjælper dig med at bestemme løsningen (eller løsningerne) til en andengradsligning, og den er formentlig en af de fem mest brugte formler i matematik. Vi er ikke tilhængere af at kunne huske formler udenad, men denne ene er nyttig at kunne (og vi mener, at du bør lære at udlede den såvel som at bruge den, men det ser vi på i en anden video!).
Hvis du har en generel andengradsligning på denne form:

a x^{2} + b x + c = 0

Så kan formlen hjælpe dig med at finde rødderne (løsningerne) for en andengradsligning, dvs. bestemme de værdier af

x

, som gør ligningen sand.

Løsningsformlen for andengradsligningen

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Den ser måske lidt skræmmende ud, men du bliver hurtigt vant til den!
Øv dig i at bruge formlen nu.

Eksempel 1

Vi skal først identificere værdierne af a, b og c (kan aflæses fra ligningen). Første skridt er at sikre, at andengradsligningen er på formen:

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ er koefficienten foran $x^{2}$ ‍, så her er $a = 1$ ‍ (bemærk, at $a$ ‍ ikke kan være lig med $0$ ‍, da leddet $x^{2}$ ‍ bliver $0$ ‍, og så er det ikke længere en andengradsligning).
$b$ ‍ er koefficienten foran $x$ ‍, så her er $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ er konstantleddet, som er leddet uden et $x$ ‍, så her er $c = - 21$ ‍.

Vi indsætter

a

b

c

i løsningsformlen:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

løsningen af dette ser sådan her ud:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Derfor er

x = 3

eller

x = - 7

Hvad fortæller denne løsning os?

De to løsninger er grafens skæringer med x-aksen, dvs. der hvor kurven skærer

x

-aksen. Ligningen

x^{2} + 3 x - 4 = 0

ser sådan her ud:

hvor løsningerne til andengradsligningen, altså skæringerne med

x

-aksen, er

x = - 4

x = 1

Man kan også løse en andengradsligning ved at faktorisere eller løse den grafisk, så hvorfor skal vi bruge en formel?

Fordi nogle gange er andengradsligninger lidt sværere at løse end det første eksempel.

Eksempel 2

Lad os prøve dette på en ligning, der er svær at faktorisere:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Lad os først få det omskrevet til en form, hvor alle leddene står på venstre side:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Formlen giver os:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Vi ved, at man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal uden at bruge imaginære tal (som du lærer om senere), så det fortæller os, at der ikke er nogle reelle løsninger til denne ligning. Det betyder, at der ikke er noget punkt, hvor

y = 0

, så grafen skærer altså ikke x-aksen. Vi kan også se dette, når vi tegner grafen på en graflommeregner:

Nu har du fået det grundlæggende om formlen for andengradsligninger!
Der er mange flere gennemregnede eksempler i de følgende videoer.

Tips til brug af løsningsformlen for andengradsligninger

Vær sikker på at ligningen er skrevet på den rigtige form: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍, ellers virker den ikke!
Sørg for, at du tager kvadratroden af hele $(b^{2} - 4 a c)$ ‍, og at $2 a$ ‍ er nævneren for det hele
Hold styr på fortegnene: $b^{2}$ ‍ kan ikke være negativt, så hvis $b$ ‍ er negativ, så sørg for, at kvadratet af den ændres til en positiv værdi, fordi kvadratet af et negativt tal eller et positivt tal er begge et positivt tal.
Behold $+ / -$ ‍ og vær altid på udkig efter TO løsninger
Hvis du bruger en lommeregner, kan du afrunde svaret til et bestemt antal decimaler. Hvis du bliver bedt om det eksakte svar (det er ikke unormalt), og kvadratroden ikke let kan kan reduceres, så behold kvadratroden i svaret, f.eks. $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ og $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Næste skridt:

Øv dig i at bruge løsningsformlen for andengradsligninger.
Se os gennemgå et eksempel:

Khan Academy video wrapper

Using the quadratic formulaSe videoens afskrift

Bevis for løsningsformlen:

Khan Academy video wrapper

Proof of the quadratic formulaSe videoens afskrift

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.