Omskrivning mellem rekursive og eksplicitte formler for aritmetiske sekvenser

Learn how to convert between recursive and explicit formulas of arithmetic sequences.
Før du følger denne lektion, skal du vide hvordan man kan finde rekursive formler og eksplicitte formler for aritmetiske sekvenser.

Omskrivning fra en rekursiv formel til en eksplicit formel

En aritmetisk sekvens har følgende rekursive formel.
{a(1)=3a(n)=a(n1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Husk, at denne formel giver os de følgende to oplysninger:
  • Det første led er 3\greenE 3
  • To get any term from its previous term, add 2\maroonC 2. In other words, the common difference is 2\maroonC 2.
Lad os finde en eksplicit formel for sekvensen.
Husk, at vi kan repræsentere en sekvens, hvis første led er A\greenE A og den fælles forskellen er B\maroonC B med den eksplicitte standardformel A+B(n1)\greenE A+\maroonC B(n-1).
En eksplicit formel for sekvensen er derfor a(n)=3+2(n1)a(n)=\greenE{3}\maroonC{+2}(n-1).

Tjek din forståelse

Omskrivning fra en eksplicit formel til en rekursiv formel

Eksempel 1: Formlen er givet på standard-form

Vi får givet følgende eksplicitte formel for en aritmetisk sekvens.
d(n)=5+16(n1)d(n)=\greenE 5\maroonC{+16}(n-1)
Denne eksplicitte formel er givet på standardformen A+B(n1)\greenE A+ \maroonC B(n-1) hvor A\greenE A er det første led og B\maroonC B er den fælles differens. Derfor,
  • det første led i sekvensen er 5\greenE 5, og
  • den fælles differens er 16\maroonC{16}.
Lad os finde en rekursiv formel for sekvensen. Husk, at den rekursive formel giver os to oplysninger:
  1. Det første led ((som vi ved er 5)\greenE 5)
  2. Mønster-reglen for at få ethvert led ud fra leddet, der kommer før det ((som vi ved er "læg 16\maroonC{16} til"))
Derfor er dette en rekursiv formel for sekvensen.
{d(1)=5d(n)=d(n1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Eksempel 2: Formlen er givet på standard-form

Vi får givet følgende eksplicitte formel for en aritmetisk sekvens.
e(n)=10+2ne(n)=10+2n
Bemærk, at denne formel ikke er anført på standardformen for eksplicitte sekvenser A+B(n1)\greenE A+\maroonC B(n-1).
Derfor kan vi ikke bare bruge strukturen af den formel for at finde det første led og den fælles differens. Vi kan i stedet finde de to første led:
  • e(1)=10+21=12e(\blueD 1)=10+2\cdot\blueD 1=12
  • e(2)=10+22=14e(\blueD 2)=10+2\cdot\blueD 2=14
Now we can see that the first term is 12\greenE{12} and the common difference is 2\maroonC{2}.
Derfor er dette en rekursiv formel for sekvensen.
{e(1)=12e(n)=e(n1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Tjek din forståelse

Udfordrende opgave

Indlæser