Aktuel tid:0:00Samlet varighed:9:25

Systems of equations number of solutions: fruit prices (1 of 2)

Video udskrift

Kongens rådgiver Arbegla lytter til en diskussion mellem os, kongen og fuglen. Han bliver lidt jaloux, fordi det er meningen, han skal være den klogeste mand i kongeriget. Arbegle afbryder og siger: Okay, hvis I og den fugl er så kloge, hvorfor tackler I så ikke gåden med frugtpriserne? Kongen udbryder: Ja! Det er noget, vi har haft store problemer med. Frugtpriserne. Arbegla fortæl dem gåden om frugtpriserne. Arbegla siger: Altså, vi vil gerne holde styr på frugtpriserne, men vi har glemt at skrive det ned, da vi var på markedet. Vi ved, hvor meget vi betalte i alt, og vi ved, hvad vi fik. For en uge siden, da vi var på markedet, købte vi 2 pund æbler og 1 pund bananer. Den samlede pris for 2 pund æbler og 1 pund bananer var 3 kroner. Prisen var 3 kroner. Gangen før det købte vi derimod 6 pund æbler. Vi købte 6 pund æbler og 3 pund bananer. Bananer. Den dag brugte vi i alt 15 kroner. Vi vil vide, hvad prisen på æbler og bananer er. Vi kigger på fuglen. Fuglen kigger på os, og den hvisker noget ind i kongens øre. Kongerne fortæller, at fuglen siger, vi skal starte med at definere nogle variable, så vi kan udtrykke det her algebraisk. Det gør vi! Vi skal finde prisen på æbler og prisen på bananer. Prisen per pund. Lad a være lig med prisen på æbler per pund. Det er a lig med. Vi lader b være lig med prisen på bananer. Prisen på bananer per pund. Vi har noget information her. 2 pund æbler og 1 pund bananer koster 3 kroner. Hvor meget koster æblerne? Det må være 2 gange prisen per pund. Altså gange a. Det er den samlede pris for æbler. Hvad er den samlede pris for bananer? Den er 1 gange prisen per pund for bananer. Det er b. Det her er den samlede pris på bananer. Den samlede pris for æbler og bananer vil være lig med 2a plus b, og vi ved, at den samlede pris er 3. Lad os nu gøre det samme for den anden gang. Der blev købt 6 pund æbler. Den samlede pris vil være 6 pund gange prisen per pund, som er a for æblerne. Der blev købt 3 pund bananer. Prisen per pund for bananer er b. Den samlede pris for bananer er b gange 3. Den samlede pris for både æbler og bananer vil være lig med 15. Det er lig med 15 i det her tilfælde. Lad os overveje, hvordan vi skal løse det her system. Vi kan bruge eliminering, eller vi kan bruge substitution. Vi kan også løse det grafisk. Lad os først prøve med eliminering. Først skal vi beslutte, hvad vi vil eliminere. Det kunne være den her variable a herovre. Vi har 6a her, så hvis vi ganger hele den her ligning med minus 3, bliver de her minus 2a til minus 6a. Så kan vi måske og forhåbentligt få a'erne til at gå ud med hinanden. Lad os gange hele den her ligning med minus 3. Vi ganger med minus 3. Det bliver minus 3 gange 2a, som er minus 6a. Minus 3 gange b er minus 3a. Minus 3 gange 3 er lig med minus 9. Det er minus 9. Nu kan vi lægge de 2 ligninger sammen. Vi lægger den venstre side af ligningen til den venstre side her og den højre side af den her ligning til den højre side her. Vi lægger altså det samme til på begge sider af ligningen, fordi vi ved, at det her er lig med det her. Lad os gøre det. Det gør vi nu. På venstre side går 6a og minus 6a ud med hinanden. Der ser dog også noget andet interessant. 3b og minus 3b går også ud med hinanden. Der står derfor 0 tilbage på venstre side. Hvad har vi på højre side? Vi har 15 minus 9, som er 6. Vi får altså det her mærkelige resultat. Alle vores variable er væk. Vi står tilbage med et resultat, der ikke giver mening. 0 er lig med 6. Det kan ikke passe. Hvad sker der her? Nu siger vi: Hvad foregår der? Vi kigger på fuglen. Fuglen lader nemlig til at være den klogeste i det her rum. . Igen hvisker fuglen ind i kongens øre, og kongen siger: Fuglen siger, at der ikke er nogen løsning, og at I skal prøve at afbilde ligninger for at se hvorfor. Vi tror på fuglen, og vi prøver at gøre det! Vi vil gerne finde ud af, hvad der foregår. Vi skal altså tage de her 2 ligninger. Dem skal vi helst lave om til hældnings-skæringpunktsform, så er det lettere at afbilde. Vi forsøger derfor at isolere b i begge de her ligninger. I den første ligning trækker vi 2a fra på begge sider. Hvis vi trækker 2a fra på begge sider, får vi b er lig med minua 2a plus 3. Det skal vi også gøre i den anden ligning. Først trækker vi 6a fra på begge sider. Nu får vi 3b er lig med minus 6a plus 15. Nu skal vi dividere begge sider med 3. Vi får b er lig med minus 2a plus 5. Den anden ligning har vi altså omskrevet til b er lig med minus 2a plus 5. Vi har ikke afbildet dem endnu, men det ser ud som om, det her er interessant. Begge ligninger har samme hældning. Det ser dog ud som om skæringspunktet, som vi her kalder b-skæringspunktet, er forskelligt i de 2 ligninger. Lad os afbilde dem og se, hvad der sker. VI tegner nogle akser her. Det her er b-aksen, og det her er a-aksen. Den første ligning har et b-skæringspunkt, som er plus 3. Lad os se. 1, 2, 3, 4, 5. Den første har et b-skæringspunkt på plus 3 og en hældning på minus 2. Når vi går 1 til højre, går vi 2 ned. 1 til højre, 2 ned. Linjen ser nogenlunde sådan her ud. Vi tegner linjen så lige som muligt. Den ser nogenlunde sådan her ud. Vi tegner den her i grøn. b-skæringspunktet her er 5. Det er her. Hældningen er den samme, nemlig minus 2. Den ser altså nogenlunde sådan her ud. Vi kan nu se, at fuglen havde ret. Der er ingen løsning, fordi de 2 ligninger aldrig skærer hinanden. De skærer ikke hinanden. De har intet skæringspunkt. Fuglen havde altså ret i, at der ikke findes nogen løsning. Der er ingen x- og y-værdier, der kan gøre det her udsagn sandt. 0 er lig med 6 vil aldrig være sandt. Pludselig bliver vi opmærksomme på, at Arbegla prøver at snyde os! Vi siger: Arbegla! Vi har fået inkonsistente informationer. Det her er et inkonsistent ligningssystem. Det er inkonsistent! Det ord bruger vi om systemer, der ikke har nogen løsninger. De her informationer, vi har fået, er altså ikke korrekte! Enten har Arbegla løjet for os, eller også er frugtpriserne blevet ændret mellem de 2 besøg på markedet. Når vi siger det, hvisker fuglen i kongens øre, at vi alligevel ikke er så dårlige til algebra.