If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:7:32

Udefinerede og ubestemte udtryk

Video udskrift

Lad os igen tænkte på os selv som en gammel filosof eller matematiker, som prøver at udvikle matematikken så meget som muligt uden at være doven og ikke lade noget være udefineret, hvis det kan defineres. Når man har med de basale ting i matematikken som at gange og dividere at gøre, er der nogle ting, man altid skal have styr på. Ting man aldrig må glemme. Eksempelvis skal vi altid huske, at hvis vi dividerer et tal med et tal, og derefter ganger med det tal, vi dividerede med, vil svaret være vores oprindelige tal. Vi dividerer et tal, x, med et andet tal, y, og derefter ganger y, så skal svaret altid være x. Den her regel gælder, når vi gange og dividerer med normale tal. Hvis vi har 3 divideret med 2 gange 2 er svaret lig med 3. Hvis vi har 10 divideret med 5 gange 5 er det lig med 10. Det er en vigtig ting at huske. Der er en definition mere, som vi altid skal huske helt ind i hjertet. Hvis vi har x gange 0, er svaret, at det altid er lig med 0. Det gælder ligegyldig, hvilket tal, der står på x'ets plads. De to definitioner, skal vi altid tage med os, når vi har med matematik at gøre. Man kan ikke modsige de her definitioner. Når vi har de her definitioner på plads, kan vi begynde at undersøge, hvad der sker, når man dividerer noget med 0. Lad os starte med at dividere et tal, der ikke er 0, med 0. Vi definerer derfor x, som et tal, der ikke er 0. Lad os starte med at gå ud fra, at der findes et svar til x divideret med 0. Herefter kan vi prøve at finde ud af, hvad det svar er. Lad os derfor sige, at x divideret med 0 er lig med y. Vi har lige brugt y, så lad os i stedet sige, at det er lig med k. Hvis det, vi har skrevet er sandt, er det også sandt, at vi får vores oprindelig tal, hvis vi ganger det hele med 0. Det har vi skrevet øverst oppe. Lad os se, hvad der sker. x divideret med 0 er lig med k. Det skal vi gange med 0. Vi skal huske at gange begge sider af lighedstegnet med 0. Det skal man altid gøre. Vi skal både gange den venstre side og den højre side med 0. Nu har vi et problem! Hvis vi følger første definition her, skal det her være lig med x. Men hvis vi følger den anden definition heroppe til højre, skal den højre side af lighedstegnet være lig med 0. Vi ved at begge regler altid gælder. Vi har derfor en modsigelse. Vi har skrevet her, at x ikke må være lig med 0, men vi ender med x er lig med 0. Vi vil ikke gå på kompromis med nogle af de her regler. Vi ved, at hvis vi dividerer et tal med et andet tal, og ganger med det tal, vi dividerede med, får vi det oprindelige tal. Vi ved dog også, at hvis vi ganger et tal med 0, er svaret 0. Den eneste ting, vi kan gøre noget ved, er det her. Vi bliver nødt til at acceptere, at k er udefineret. Problemet opstod, fordi vi prøvede at definere, hvad x divideret med 0 er lig med, når x ikke er 0. Når vi har accepteret, at x divideret med nul er udefineret, kan vi se på tilfældet, hvor x er lig med 0. Hvad er x divideret med 0, når x er lig med 0. Vi går frem på samme måde som før, og prøver at definere det ved at antage, at 0 divideret med 0 er lig k. Vi bruger k igen, ligesom før. Vi bruger præcis samme fremgangsmåde, så vi skriver 0 divideret med 0 er lig med k. Lad os lige farve nullerne forskelligt. Igen skal vi huske, at vi ikke må gå kompromis med vores 2 regler. Hvis vi dividerer et tal med et andet tal og ganger det med det tal, vi dividerede med, er svaret lig med det oprindelige tal. Man må aldrig gå på kompromis med sine regler. Lad os nu prøve at gange begge sider med 0. Ifølge den her regel, burde vi stå tilbage med det her pink 0. Vi skal dog huske, at hvis vi ganger med 0 på den ene side, skal vi også gøre det på den anden side af lighedstegnet. Når man har et lighedstegn, skal man altid huske, at de operationer, man laver, skal laves på begge sider af lighedstegnet. Her har vi altså k gange 0. På den venstre side har vi altså det her pink 0. På højre side har vi derimod k gange 0. Det svar vi kommer frem til går faktisk ikke imod nogle af de regler, vi har heroppe. Det går ikke imod nogle af de regler, som vi aldrig vil gå på kompromis med. Det er altså sandt ligegyldig hvilket tal, der står på k's plads. Vi vil dog finde ud af, hvilket tal k er. Det vil være rart, hvis vi kan finde ud af, hvilket tal, der skal stå på k's plads. Vi kan dog se nu, at når vi har de her antagelser, kan der stå hvad som helst på k's plads. Vi kan ikke definere, hvilket tal k er. Det kan være 75, eller det kan være 100.000. Det kan være hvad som helst. Vi kan ikke bestemme, hvad k er lig med. Det er derfor, at dygtige matematikere, vil sige, at vi ikke ved, hvad 0 divideret med 0 er lig med. Der er ikke et svar til det. Vi siger derfor, at det er ubestemt. Der er ikke et svar, der lader til at være bedre end andre svar. Vi kan heller ikke regne 1 divideret med 0. Da vi prøvede at regne det, modsagde de her to regler hinanden. 0 divideret med 0 kan derimod ikke bestemmes Det her er grunden til, at man vil høre dygtige matematikere sige, at 0 divideret med 0 er ubestemt.