Udefinerede og ubestemte udtryk

Lad os igen se os selv som en gammel filosof eller matematiker, som prøver at udvikle matematikken så meget som muligt uden at være doven og ikke lade noget være udefineret, hvis det kan defineres. Når man begynder at udvide matematikken, især inden for multiplikation og division, er der nogle ting, man skal holde fast i. Når du laver en form for division, så skal multiplikation gøre det omvendte. Det er noget du holder fast i. Du antager for en hvilken som helst division så starter du med et tal og når det divideres med et andet tal, som division med er defineret for, og dernæst multiplicerer med det samme tal så får du det oprindelige tal. Her skal svaret altid blive x. Og sådan er det også, når vi ganger og dividerer med almindelige tal. Hvis vi har 3 divideret med 2 gange 2, så er svaret lig med 3. Hvis vi har 10 divideret med 5 gange 5 så er det lig med 10. Den anden ting, som jeg antager -- endnu en ting som vi holder fast i -- er at x gange 0 altid er lig med 0. Uanset værdien af x. Dette er noget vi holder fast i, når vi vil udvide vores viden om matematik. To antagelser der altid er sande. Med det sagt, nu kan vi se nærmere på division med 0-problematikken. Lad os prøve at definere det. Men først endnu en antagelse. Vi definerer x, som et tal, der ikke er 0. Den bedste måde at finde ud af, hvad x divideret med 0 bør være, er at antage det er defineret og så prøve at finde svaret. Lad os derfor sige, at x divideret med 0 er lig med y. Vi har lige brugt y, så lad os i stedet sige, at det er lig med k. Så hvis dette er sandt og vi forsøger at definere, hvad det betyder at dividere med nul, så antager vi, at når vi ganger med nul, så får vi vores oprindelige tal. Det er noget, der SKAL opfyldes. Lad os se, hvad der sker. x divideret med 0 er lig med k. På venstre side vil vi dividere med 0 og gange med nul. Da de to sider er lig hinanden, hvis jeg gør noget til den ene side så skal jeg, for de kan forblive ens, gøre det samme på den anden side. Det her skal være ens med det her. Vi skal både gange den venstre side og den højre side med 0. Den første antagelse, som vi holder fast i siger den venstre side er lig med x. Den anden antagelse siger, at højre side er lig med 0. Vi har en modsigelse. Jeg antog, at x ikke er lig med 0, men jeg ender med x er lig med 0. Jeg er ikke villig til at gå på kompromis med nogle af disse antagelser. Vi antager, at division med et tal og efterfulgt af multiplikation, giver det oprindelige tal, og antager at et tal gange med 0 er 0. Den eneste ting, vi kan gøre noget ved, er det her. Vi bliver nødt til at acceptere, at k er udefineret. Problemet opstod, da vi prøvede at definere, hvad x divideret med 0 er lig med, når x ikke er 0. Hvad så når x er lig med 0? Lad os tænke lidt over det. Jeg gør ligesom før og prøver at definere det ved at antage, at 0 divideret med 0 er lig k. Vi bruger k igen, ligesom før. Vi bruger præcis samme fremgangsmåde, så jeg skriver 0 divideret med 0 er lig med k. Lad os lige farve nullerne forskelligt. Igen, så er jeg ikke villig til gå på kompromis med de to antagelser. Hvis jeg starter med x, dividerer det med noget, hvor division er defineret, efterfulgt af multiplikation med det samme tal, så er svaret lig med det oprindelige tal. Jeg kan ikke se bort fra dette, hvis definitionen af division skal holde. Nu ganger jeg på venstre side med 0, og denne antagelse siger så, at venstre side er lig med dette lilla 0. Når jeg gør noget på den ene side i en ligning, så skal jeg gøre det samme på den anden side. Jeg skal derfor gange den højre side med 0. På den venstre side har vi, altså det her pink 0. På højre side har vi k gange 0. Det svar, vi kommer frem til, er ikke i modstrid med vores antagelser. Det er altså sandt for alle værdier af k. Det er en af de to antagelser, som jeg ikke ville gå på kompromis med. Dette er sandt for alle værdier af k. Problemet er så, at jeg skulle finde en værdi for k. Det ville have været godt, hvis dette var blevet 0 eller 1 eller minus 1. Jeg kan nu se, med disse antagelser, kan der stå hvad som helst på k's plads. Jeg kan ikke bestemme, hvilket tal k er. Det kan være 100 000 eller 75. Det kan være, hvad som helst. Jeg kan ikke bestemme, hvad k er lig med. Tidlige matematikere sagde derfor vi ikke ved, hvad 0 divideret med 0 er lig med. Der er ikke noget svar. Vi siger derfor, at det ikke er defineret. Der er ikke et godt svar, der er bedre end andre svar. Vi kan dog se, det er en smule nuanceret. 1 divideret med 0 kunne ikke defineres, da de to antagelser modsagde hinanden. 0 divideret med 0 kan være hvad som helst, og kan ikke bestemmes. Det her er grunden til, at man ofte hører i f.eks. integralregning at 0 divideret med 0 er ubestemt.