Hvad er definitionsmængden for en funktion?

Lad os lige gennemgå, hvad en funktion er, inden vi snakker om, hvad definitionsmængden af en funktion er. Vi kan tænke på en funktion som en kasse, der tager et input og for et givet input giver den et output, som vi kalder f(x). Lad os for eksempel sige, vi har funktionen f(x) = 2/x. Hvis vi indsætter tallet 3 i funktionen, så er f(3) vores output. Vi ved, hvordan vi bestemmer det. Det er defineret her over. Det er lig 2/3. For det input kunne vi finde et output. Hvis vores input er 𝜋, så får vi f(𝜋). Når x er lig 𝜋, så får vi 2/𝜋 som output, Vi kunne ret nemt finde et output. Lad os nu gøre noget spændende. Lad os forsøge, at indsætte 0 i funktionen. Fortæller funktionen os så, hvad vores output bliver? Fortæller funktionens definition os, hvad vores output er? Hvis jeg forsøger, at indsætte x er lig 0, så siger denne funktion, at f(0) er lig 2/0, men 2/0 er ikke defineret. 2/0 er ikke defineret. Funktionens definition fortæller os ikke, hvad vi skal gøre med 0. Den giver os et ikke-defineret svar. Denne funktion er ikke defineret her. Den giver os et spørgsmålstegn. Dette bringer os til, hvad definitionsmængde er. Definitionsmængde er det sæt af alle input for hvilket funktionen er defineret. Definitionsmængden for denne funktion f er alle reelle tal, bortset fra x er lig 0. Lad os skrive det ned. Definitionsmængden af en funktion er det sæt af alle input for hvilket funktionen har definerede outputs. Definitionsmængden for denne funktion... Jeg skal bruge disse krøllede parenteser, som er typisk matematik notation. x tilhører de reelle tal. Dette symbol ϵ betyder tilhører. Men x kan ikke være alle reelle tal. Det kan være de fleste reelle tal bortset fra 0, fordi funktionen ikke er defineret, når inputtet er 0. Symbolet ℝ betyder de reelle tal. x tilhører de reelle tal, for hvilket det er givet at -- vi skal lave undtagelsen, når x er lig 0 -- x ikke er lig 0. Lad os lave lidt flere eksempler. Jo flere eksempler vi laver jo mere tydeligt bliver dette forhåbentligt. Lad os sige, vi har en anden funktion. Vi behøver ikke altid bruge f'er og x'er. Vi kan sige, vi har g(y) = √(y-6). Hvad er definitionsmængden? For hvilket sæt af input er funktionen g defineret? Vi indsætter her y i funktionen g og vi får g(y) som output. Den vil være defineret, når det der står under rodtegnet ikke er negativt. Hvis det er negativt, så er kvadratroden ikke defineret. Hvis det er negativt, hvordan vil du så tage kvadratroden af det? y - 6 skal derfor være større end eller lig 0 for at g er defineret for det input af y. eller vi kan lægge 6 til på begge sider og y skal være større end eller lig 6. Eller du kan sige, at g er defineret for alle input af y, der er større end eller lig 6. Vi kan sige, at definitionsmængden er det sæt af alle y'er, der til hører de reelle tal for hvilket det er givet, at y er større end eller lig 6. Forhåbentlig begynder det at give mening. Vi ser tit funktioner defineret som disse, men du kan have funktioner, der er meget mere eksotiske. Du kan have h(x) som er 1, når x er lig 𝜋 og er lig 0, når x er lig 3. Hvad er definitionsmængden her? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og tænke over det. Denne funktion er faktisk kun defineret for to input. Vi ved, at h(𝜋) har 1 som output og hvis vi har 3 som input, så er h(3) lig 0. Hvad er h(4)? Det er ikke defineret. Hvad er h(-1)? Det er ikke defineret. Definitionsmængden af h er faktisk kun disse to inputs. x kan være 3 og 𝜋. Det er de eneste input for hvilke funktionen er defineret. Det giver dig forhåbentlig en fornemmelse af, hvorfor vi skal kende definitionsmængden. Ikke alle funktioner er defineret for alle reelle tal. Nogle er kun defineret for en lille delmængde af de reelle tal eller en anden mængde eller kun for hele tal eller naturlige tal eller positive tal og negative tal. Det vil vi se, når vi laver flere eksempler.