Hovedindhold
Algebra 1
Emne: (Algebra 1 > Emne 8
Modul 13: Introduktion til inverse funktionerIntroduktion til inverse funktioner
Lær hvad inverse funktioner er, hvordan man bestemmer inverse funktioner ud fra oplysninger i en tabel eller en graf.
En invers funktion er kort fortalt en funktion, som gør "det omvendte" af en anden funktion. Vi kan også kalde den en "omvendt funktion".
For eksempel kan vi nedenunder se, at f tager 1 til x, 2 til z og 3 til y.
Den inverse til f, skrives som f, start superscript, minus, 1, end superscript (og udtales bare "den inverse til f"), gør det omvendte. Den inverse funktion f, start superscript, minus, 1, end superscript tager x til 1, y til 3 og z til 2. Det er vigtigt at bemærke, at selvom start superscript, minus, end superscriptstart superscript, 1, end superscript er skrevet som en eksponent, så har det ikke noget med potenser at gøre; det er bare måden at skrive det på. Det er lidt det samme som i trigonometri, hvor vi f.eks. har cosstart superscript, minus, end superscriptstart superscript, 1, end superscript.
Definition af inverse funktioner
Generelt gælder der, at hvis en funktion f tager a til b, så vil den inverse funktion, f, start superscript, minus, 1, end superscript, tage b til a.
Ud fra det kan vi lave en formel definition for inverse funktioner:
f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a
Lad os bruge denne definition til at gennemgå nogle eksempler.
Eksempel 1: Diagram
Lad os antage, at funktionen h er repræsenteret med diagrammet ovenfor. Hvad er h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?
Løsning
I diagrammet kan vi aflæse oplysninger om funktionen h, og vi bliver bedt om at svare på et spørgsmål om h, start superscript, minus, 1, end superscript. Fordi inverse funktioner gør det omvendte af hinanden, skal vi også tænke omvendt.
For at bestemme h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis skal vi finde det input i funktionen h, som giver funktionsværdien 9. Det er fordi, hvis h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, så ud fra definitionen er h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.
Ud fra diagrammet kan vi se, at h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, så h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.
Tjek din forståelse
Eksempel 2: Graf
Dette er grafen for funktionen g. Lad os bestemme g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis.
Løsning
For at bestemme g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis kan vi finde det input til g, som giver funktionsværdien minus, 7. Det kan vi, fordi hvis g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, så er g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7 ud fra definitionen om inverse funktioner.
Ud fra grafen kan vi se, at g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.
Derfor er g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.
Tjek din forståelse
Den grafiske sammenhæng
Eksemplerne ovenfor viste os den algebraiske sammenhæng mellem en funktion og dens inverse, men man kan faktisk også betragte sammenhængen grafisk!
Betragt funktionen f, som er repræsenteret både med en graf og en funktionstabel.
x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
---|---|
minus, 2 | start fraction, 1, divided by, 4, end fraction |
minus, 1 | start fraction, 1, divided by, 2, end fraction |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 4 |
Vi kan bytte rundt på inputs og funktionsværdier for funktionen f for at finde inputs og funktionsværdier for f, start superscript, minus, 1, end superscript. Så hvis left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis ligger på grafen for y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, så ligger left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis på grafen for y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.
Det giver os denne graf og funktionstabel for f, start superscript, minus, 1, end superscript.
x | f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis |
---|---|
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction | minus, 2 |
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction | minus, 1 |
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
Hvis vi kigger på begge grafer samlet, så kan vi se, at grafen for y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis og grafen for y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis er hinandens spejlinger i linjen y, equals, x.
Dette gælder generelt; grafen for en funktion og grafen for dens inverse vil altid være hinandens spejlbilleder i linjen y, equals, x.
Tjek din forståelse
Hvorfor skal vi lære om inverse funktioner?
Det kan måske være svært at forstå, hvorfor vi overhovedet skal lære om inverse funktioner, og hvor de kan bruges, men de er ganske anvendelige, og vi bruger dem faktisk hele tiden!
Betragt f.eks. ligningen C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis, som kan bruges til at omregne temperaturen i Fahrenheit, F, til grader Celsius, C.
Og lad os så antage, at vi nu ønsker en ligning, som gør præcis det omvendte – altså omregner temperaturen i grader Celsius til temperaturen i Fahrenheit. Det gør vi ved at isolere F i den oprindelige ligning, og så får vi F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, hvilket er den inverse funktion.
Helt grundlæggende kan vi sige, at når vi løser ligninger i matematik, så "isolerer vi variablen". Når vi isolerer variablen, så gør vi altid "det omvendte". Det er sådan set også det grundlæggende i arbejdet med inverse funktioner.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.