Hovedindhold
Algebra 1
Emne: (Algebra 1 > Emne 8
Modul 8: Maksimum og minimumIntroduktion til minimum- og maksimumpunkter
Vi forklarer alt om minimum- og maksimumpunkter, både lokale og globale. Lavet af Sal Khan.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.
Video udskrift
Her har jeg tegnet grafen for
funktionen y er lig med f(x). Jeg har tegnet grafen
over dette interval mellem 0 og en positiv værdi. Lad os se på maksimum og
minimum værdier på denne graf. Vi har allerede snakket en smule
om globalt maksimum og globalt minimum i et interval
og de er ret tydelige. Der er et maksimum her
helt i starten af vores interval. Når x er lig med 0, så er der
et globalt maksimum for intervallet. og det globale minimum
punkt for intervallet er ved det andet yderpunkt. Hvis dette er a, dette er b,
så er det globale minimum er f(b). Og det globale maksimum
punkt er f(a), hvor a er omkring 0. men du tænker sikkert, der er nogen interessante punkter herovre. Det punkt herovre er ikke det største. Vi snakker ikke om den værdi herovre. Det er klart ikke den største værdi
som funktionen har i intervallet. Men i forhold til de andre værdier
omkring den er det en lille bakke, der har større værdier
end de andre punkter. Lokalt er det et maksimum og det er
derfor at værdien her kaldes -- lad os sige det er c, så f(c) --
et lokalt maksimum. Vi siger lokalt fordi
funktionen tydeligvis antager andre værdier der
er større end det men for x værdier tæt på c,
er f(c) større end alle de andre. På samme vis, hvis det punkt
her er d, så er f(d) et lokalt minimumpunkt eller
en lokal minimumværdi. Over hele intervallet er der andre
punkter, der er lavere. Vi har et globalt minimum for
intervallet ved x er lig med b, men der er et lokalt minimum,
fordi det er lavere end andre x værdier omkring d. Funktionsværdierne omkring det
er større. Det er nemt for mig at sige, at et lokalt maksimum har en større
funktionsværdi end nogen af de
omkringliggende værdier og et lokalt minimum har lavere værdier
end de omkringliggende værdier, Men hvordan kan vi skrive det matematisk? Her er definitionen, som er en formel
måde at sige, hvad jeg lige har sagt. f(c) er et lokalt maksimum, hvis f(c) er større end eller lig
med f(x) for alle x nær c. Men det er ikke præcist, for hvad
betyder det at være nær c? En mere præcis måde
at sige det på er, for alle x i et åbent
interval fra c minus h til c plus h, hvor h er en værdi større end 0. Giver det mening? Lad os kigge på det. Lad os lave et åbent interval. Du skal finde et åbent interval
og der kan være mange intervaller, hvor dette er sandt. Hvis vi laver et åbent interval,
hvor værdien her er c plus h og værdien herovre er c minus h, så kan du se, at i dette interval er f(c)
større end alle andre funktionsværdier. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen
på pause, så du kan skrive hvad den formelle definition
af et lokalt minimumspunkt er. Lad os bruge d som et lokalt minimum. f(d) er et lokalt minimumpunkt,
hvis f(d) er mindre end eller lig med f(x) for alle x i et
åbent interval mellem d minus h og d plus h, hvor h er større end 0. Så du kan finde et interval her. Lad os sige, at dette er d plus h,
og dette er d minus h. Funktionen f(d) over dette
interval er altid mindre end eller lig med enhver af de andre værdier,
for f(x) i intervallet. Det er derfor vi siger det er
et lokalt minimumpunkt. Så på hverdagssprog siges,
lokalt maksimum er hvis funktionen antager
en større værdi ved c end for alle x nær c. For lokalt minimum, hvis funktionen antager
en mindre værdi ved d end for alle x nær d.