Hovedindhold

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Modul 8: Mere om kvadratkomplettering

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

For eksempel, løs x² + 6x = -2 ved at omskrive det til x² + 6x = -2 og derefter tage kvadratroden på begge sider.

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kommer til at lære i denne lektion

Indtil videre har du enten løst andengradsligninger ved at tage kvadratroden eller ved faktorisering. Disse metoder er forholdsvis enkle og effektive, når det er relevant. Det er desværre ikke altid, at de kan anvendes.

I denne lektion vil du lære en metode til at løse enhver form for andengradsligning.

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

Betragt ligningen

x^{2} + 6 x = - 2

. Vi kan ikke løse denne ligning ved at tage kvadratroden eller ved at faktorisere.

Men håbet er ikke ude! Vi kan bruge en metode, som hedder kvadratkomplettering, hvor vi bruger kvadratsætningerne til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse. Lad os starte med løsningen og derefter gennemgå det i dybden.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Læg 9 til på begge sider, så venstre side kan omskrives. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Omskriv venstre side til kvadratet på en toleddet størrelse. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Træk 3 fra på begge sider. \end{aligned}

Løsningerne er

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

Hvad skete der her?

Målet med lægge

9

til

x^{2} + 6 x

i række

(2)

havde det heldige resultat, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse,

(x + 3)^{2}

. På denne form kunne vi løse ligningen ved at tage kvadratroden.

Det var naturligvis ikke tilfældigt. Tallet

9

blev nøje udvalgt, så det resulterende udtryk kunne faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse.

Hvordan bruger vi kvadratkomplettering

For at forstå, hvorfor

9

blev valgt, bør vi stille os selv følgende spørgsmål: Hvis

x^{2} + 6 x

er begyndelsen til kvadratet på en toleddet størrelse, hvad skal konstantleddet så være?

Lad os antage, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse,

(x + a)^{2}

, hvor værdien af konstanten

a

stadig er ukendt. Dette udtryk kan ganges ud til

x^{2} + 2 a x + a^{2}

, hvilket fortæller os to ting:

Koefficienten for $x$ ‍, som vi ved er $6$ ‍, svarer til $2 a$ ‍. Det betyder, at $a = 3$ ‍.
Det konstante led, som vi skal lægge til, svarer til $a^{2}$ ‍, som er $3^{2} = 9$ ‍.

Prøv selv at bestemme de konstante led, som skal lægges til, for at kunne omskrive nedenstående udtryk til kvadratet på en toleddet størrelse.

Opgave 1

Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med $x^{2} + 10 x$ ‍ ?

Opgave 2

Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med $x^{2} - 2 x$ ‍ ?

Opgave 3

Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ ?

Udfordrende opgave

Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med $x^{2} + b \cdot x$ ‍?

Denne udfordring giver os en genvej til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse (for dem der kan lide genveje og ikke har noget imod huske ting): Den viser os, at for at omskrive

x^{2} + b x

kvadratet på en toleddet størrelse, hvor

b

er et givent tal, skal vi lægge

{(\frac{b}{2})}^{2}

til.

For eksempel, for at omskrive

x^{2} + 6 x

til kvadratet på en toleddet størrelse, lægger vi

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

til det.

Løsning af ligninger én gang til

Okay! Nu hvor du er certificeret i kvadratkomplettering, så lad os gå tilbage til processen med at løse ligninger ved at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse.

Lad os se på et nyt eksempel, ligningen

x^{2} - 10 x = - 12

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Læg 25 til på begge sider. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & læg 5 til på begge sider. \end{aligned}

For at omskrive det oprindelige udtryk på venstre side,

x^{2} - 10 x

, til kvadratet på en toleddet størrelse, lagde vi

25

til i række

(2)

. Som altid i ligninger så gjorde vi det samme på den højre side, hvilket ændrede

- 12

til

13

Helt generelt afhænger valget af tallet, som vi lægger til for at kunne omskrive til kvadratet på toleddet størrelse, ikke af højre side, men vi skal altid huske at lægge tallet til på begge sider.

Nu er det din tur til at løse nogle ligninger.

Opgave 4

Løs $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

Opgave 5

Løs $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

Før du omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse

Regel 1: Adskil de variable led fra det konstante led

Her vises, hvordan vi løser ligningen

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Træk x fra på begge sider. \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Læg 6 til på begge sider. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Læg 4 til på begge sider. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Træk 2 fra på begge sider. \end{aligned}

At omskrive en af ligningens sider til kvadratet på en toleddet størrelse er ikke nyttigt, hvis vi har et

x

-led på den anden side. Det er derfor, vi trak

x

fra i række

(2)

, så vi fik alle de variable led over på venstre side.

For at omskrive

x^{2} + 4 x

til kvadratet på en toleddet størrelse, skal vi lægge

4

til, men før vi gør det, skal vi sørge for, at alle konstante led er på den anden side af ligningen. Det er derfor, vi lægger

6

til i række

(3)

, så

x^{2} + 4 x

står for sig selv.

Regel 2: Sørg for at koefficienten foran $x^{2}$ ‍ er lig med $1$ ‍.

Her vises, hvordan vi løser ligningen

3 x^{2} - 36 x = - 42

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Divider med 3 på begge sider. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Læg 36 til på begge sider. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Tag kvadratroden på begge sider. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & Læg 6 til på begge sider. \end{aligned}

Metoden med at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse virker kun, hvis koefficienten foran

x^{2}

1

Når vi omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse, sammenligner vi det givne udtryk med den generelle kvadratsætning

(x + a)^{2}

, som kan ganges ud til

x^{2} + 2 a x + a^{2}

. Som du kan se, er koefficienten for

x^{2}

i dette udtryk lig med

1

Hvis vi ser på et udtryk som

3 x^{2} - 36 x

som begyndelsen til en kvadratsætning, vil det ikke være lig med det generelle udtryk

(x + a)^{2}

. Det vil i stedet være lig med kvadratsætningen for

(\sqrt{3} \cdot x + a)^{2}

, som kan ganges ud til

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \cdot x + a^{2}

. Held og lykke med det!

Det er derfor vi i række

(2)

dividerede med koefficienten for

x^{2}

, som er

3

Nogle gange, når vi dividerer med koefficienten for

x^{2}

, bliver resultatet, at de andre led i ligningen bliver brøker. Det betyder ikke, at du har gjort noget forkert, men at du skal arbejde med brøker i din omskrivning.

Nu er det din tur til at løse en ligning som denne.

Opgave 6

Løs $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kommer til at lære i denne lektion

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

Hvad skete der her?

Hvordan bruger vi kvadratkomplettering

Løsning af ligninger én gang til

Før du omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse

Regel 1: Adskil de variable led fra det konstante led

Regel 2: Sørg for at koefficienten foran x2‍ er lig med 1‍ .

Vil du deltage i samtalen?

Regel 2: Sørg for at koefficienten foran $x^{2}$ ‍ er lig med $1$ ‍.