If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Gennemgang af kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en metode til at omskrive andengradsligninger ved hjælp af kvadratsætningerne, så de bliver omskrevet til kvadratet på en toleddet størrelse. Denne artikel gennemgår metoden med eksempler, og du har mulighed for at prøve at løse nogle opgaver selv.

Hvad er kvadratkomplettering?

Kvadratkomplettering er en metode til at omskrive andengradspolynomier på formen left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, plus, b. Vi bruger altså kvadratsætningerne til at omskrive til denne form.
For eksempel kan x, squared, plus, 2, x, plus, 3 omskrives til left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2. De to udtryk er helt ækvivalente, men den sidste er nemmere at arbejde med i nogle situationer.

Eksempel 1

Vi får givet en andengradsligning og bliver bedt om at omskrive den ved hjælp af kvadratkomplettering.
x, squared, plus, 10, x, plus, 24, equals, 0
Vi starter med at flytte konstantleddet over på højre side af ligningen.
x, squared, plus, 10, x, equals, minus, 24
Vi foretager en kvadratkomplettering ved at tage halvdelen af koefficienten foran vores x-led, kvadrere det og lægge det til på begge sider af ligningen. Da koefficienten foran vores x-led er lig med 10, så vil halvdelen af det være 5, og kvadreringen af det giver os start color #11accd, 25, end color #11accd.
x, squared, plus, 10, x, start color #11accd, plus, 25, end color #11accd, equals, minus, 24, start color #11accd, plus, 25, end color #11accd
Vi kan nu omskrive venstre side af ligningen til kvadratet på en toleddet størrelse.
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared, equals, 1
Vi tager kvadratroden på begge sider.
x, plus, 5, equals, plus minus, 1
Isolér x for at bestemme løsningen (løsningerne).
x, equals, minus, 5, plus minus, 1
Vil du lære mere om kvadratkomplettering? Tjek denne video.

Eksempel 2

Vi får givet en andengradsligning og bliver bedt om at omskrive den ved hjælp af kvadratkomplettering.
4, x, squared, plus, 20, x, plus, 25, equals, 0
Først dividerer vi med 4 (koefficienten foran x, squared-leddet) på begge sider af ligningen.
x, squared, plus, 5, x, plus, start fraction, 25, divided by, 4, end fraction, equals, 0
Bemærk, at den venstre side af ligningen allerede er kvadratet på en toleddet størrelse. Koefficienten foran vores x-led er 5, det halve af det er start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, og kvadrering af det giver os start color #11accd, start fraction, 25, divided by, 4, end fraction, end color #11accd, som er vores konstantled.
Vi kan derfor let omskrive venstre side af ligningen til kvadratet på en toleddet størrelse.
left parenthesis, x, plus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 0
Vi tager kvadratroden på begge sider.
x, plus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, equals, 0
Isolér x for at bestemme løsningen.
Løsningen er: x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction

Øvelsesopgaver

Opgave 1
  • Nuværende
Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse, så udtrykket bliver på formen left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, plus, b.
x, squared, minus, 2, x, plus, 17

Vil du løse flere opgaver af denne slags? Tjek disse øvelser:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.