Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Modul 8: Mere om kvadratkomplettering

Gennemgang af kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en metode til at omskrive andengradsligninger ved hjælp af kvadratsætningerne, så de bliver omskrevet til kvadratet på en toleddet størrelse. Denne artikel gennemgår metoden med eksempler, og du har mulighed for at prøve at løse nogle opgaver selv.

Hvad er kvadratkomplettering?

Kvadratkomplettering er en metode til at omskrive andengradspolynomier på formen

(x + a)^{2} + b

. Vi bruger altså kvadratsætningerne til at omskrive til denne form.

For eksempel kan

x^{2} + 2 x + 3

omskrives til

(x + 1)^{2} + 2

. De to udtryk er helt ækvivalente, men den sidste er nemmere at arbejde med i nogle situationer.

Eksempel 1

Vi får givet en andengradsligning og bliver bedt om at omskrive den ved hjælp af kvadratkomplettering.

x^{2} + 10 x + 24 = 0

Vi starter med at flytte konstantleddet over på højre side af ligningen.

x^{2} + 10 x = - 24

Vi foretager en kvadratkomplettering ved at tage halvdelen af koefficienten foran vores

x

-led, kvadrere det og lægge det til på begge sider af ligningen. Da koefficienten foran vores

x

-led er lig med

10

, så vil halvdelen af det være

5

, og kvadreringen af det giver os

25

x^{2} + 10 x + 25 = - 24 + 25

Vi kan nu omskrive venstre side af ligningen til kvadratet på en toleddet størrelse.

(x + 5)^{2} = 1

Vi tager kvadratroden på begge sider.

x + 5 = \pm 1

Isolér

x

for at bestemme løsningen (løsningerne).

x = - 5 \pm 1

Vil du lære mere om kvadratkomplettering? Tjek denne video.

Eksempel 2

Vi får givet en andengradsligning og bliver bedt om at omskrive den ved hjælp af kvadratkomplettering.

4 x^{2} + 20 x + 25 = 0

Først dividerer vi med

4

(koefficienten foran

x^{2}

-leddet) på begge sider af ligningen.

x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} = 0

Bemærk, at den venstre side af ligningen allerede er kvadratet på en toleddet størrelse. Koefficienten foran vores

x

-led er

5

, det halve af det er

\frac{5}{2}

, og kvadrering af det giver os

\frac{25}{4}

, som er vores konstantled.

Vi kan derfor let omskrive venstre side af ligningen til kvadratet på en toleddet størrelse.

(x + \frac{5}{2})^{2} = 0

Vi tager kvadratroden på begge sider.

x + \frac{5}{2} = 0

Isolér

x

for at bestemme løsningen.

Løsningen er:

x = - \frac{5}{2}

Øvelsesopgaver

Opgave 1

Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse, så udtrykket bliver på formen $(x + a)^{2} + b$ ‍.

x^{2} - 2 x + 17

Vil du løse flere opgaver af denne slags? Tjek disse øvelser:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.