Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Modul 8: Mere om kvadratkomplettering

Gennemgang af beviset for løsningsformlen for andengradsligninger

Et tekst-baseret bevis (ikke video) for løsningsformlen.

Løsningsformlen for en andengradsligning siger, at

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

for alle andengradsligninger på formen:

a x^{2} + b x + c = 0

Hvis du aldrig har set denne formel bevist før, kan det være en fordel at se et video-bevis, men hvis du repeterer eller foretrækker et tekst-baseret bevis, så er det her:

Beviset

Vi tager udgangspunkt i standardformen for en andengradsligning og udfører en masse algebra for at isolere

x

. Kernen i beviset er at omskrive til

kvadratet på en toleddet størrelse

. Hvis du ikke er fortrolig med denne teknik, kan du genopfriske den ved at se denne video.

Del 1: Kvadratet på en toleddet størrelse

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 & (1) \\ a x^{2} + b x & = - c & (2) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x & = - \frac{c}{a} & (3) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (4) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \end{aligned}

Del 2: Algebra! Algebra! Algebra!

Husk, at målet er at isolere

x

, ligesom i løsningsformlen.

\begin{aligned} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} & (6) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} & (7) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}} & (8) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (9) \\ x & = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (10) \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (11) \end{aligned}

Og så er vi faktisk færdige!

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Aksel Arkil
Slået op 7 måneder siden. Direkte link til Aksel Arkils opslag “Spørgsmål til trin 6: Hvo...”
Spørgsmål til trin 6:
Hvorfor ganger man -(c/a) med 4a?
Knap navigerer til tilmeldingssideKnap navigerer til tilmeldingsside
(1 stemme)
Svar

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.