Hovedindhold
Algebra 1
Emne: (Algebra 1 > Emne 14
Modul 8: Mere om kvadratkompletteringLøsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering
For eksempel, løs x² + 6x = -2 ved at omskrive det til x² + 6x = -2 og derefter tage kvadratroden på begge sider.
Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion
Hvad du kommer til at lære i denne lektion
Indtil videre har du enten løst andengradsligninger ved at tage kvadratroden eller ved faktorisering. Disse metoder er forholdsvis enkle og effektive, når det er relevant. Det er desværre ikke altid, at de kan anvendes.
I denne lektion vil du lære en metode til at løse enhver form for andengradsligning.
Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering
Betragt ligningen . Vi kan ikke løse denne ligning ved at tage kvadratroden eller ved at faktorisere.
Men håbet er ikke ude! Vi kan bruge en metode, som hedder kvadratkomplettering, hvor vi bruger kvadratsætningerne til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse. Lad os starte med løsningen og derefter gennemgå det i dybden.
Løsningerne er og .
Hvad skete der her?
Målet med lægge til i række havde det heldige resultat, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse, . På denne form kunne vi løse ligningen ved at tage kvadratroden.
Det var naturligvis ikke tilfældigt. Tallet blev nøje udvalgt, så det resulterende udtryk kunne faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse.
Hvordan bruger vi kvadratkomplettering
For at forstå, hvorfor blev valgt, bør vi stille os selv følgende spørgsmål: Hvis er begyndelsen til kvadratet på en toleddet størrelse, hvad skal konstantleddet så være?
Lad os antage, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse, , hvor værdien af konstanten stadig er ukendt. Dette udtryk kan ganges ud til , hvilket fortæller os to ting:
- Koefficienten for
, som vi ved er , svarer til . Det betyder, at . - Det konstante led, som vi skal lægge til, svarer til
, som er .
Prøv selv at bestemme de konstante led, som skal lægges til, for at kunne omskrive nedenstående udtryk til kvadratet på en toleddet størrelse.
Denne udfordring giver os en genvej til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse (for dem der kan lide genveje og ikke har noget imod huske ting): Den viser os, at for at omskrive kvadratet på en toleddet størrelse, hvor er et givent tal, skal vi lægge til.
For eksempel, for at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse, lægger vi til det.
Løsning af ligninger én gang til
Okay! Nu hvor du er certificeret i kvadratkomplettering, så lad os gå tilbage til processen med at løse ligninger ved at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse.
Lad os se på et nyt eksempel, ligningen .
For at omskrive det oprindelige udtryk på venstre side, , til kvadratet på en toleddet størrelse, lagde vi til i række . Som altid i ligninger så gjorde vi det samme på den højre side, hvilket ændrede til .
Helt generelt afhænger valget af tallet, som vi lægger til for at kunne omskrive til kvadratet på toleddet størrelse, ikke af højre side, men vi skal altid huske at lægge tallet til på begge sider.
Nu er det din tur til at løse nogle ligninger.
Før du omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse
Regel 1: Adskil de variable led fra det konstante led
Her vises, hvordan vi løser ligningen :
At omskrive en af ligningens sider til kvadratet på en toleddet størrelse er ikke nyttigt, hvis vi har et -led på den anden side. Det er derfor, vi trak fra i række , så vi fik alle de variable led over på venstre side.
For at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse, skal vi lægge til, men før vi gør det, skal vi sørge for, at alle konstante led er på den anden side af ligningen. Det er derfor, vi lægger til i række , så står for sig selv.
Regel 2: Sørg for at koefficienten foran er lig med .
Her vises, hvordan vi løser ligningen :
Metoden med at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse virker kun, hvis koefficienten foran er .
Det er derfor vi i række dividerede med koefficienten for , som er .
Nogle gange, når vi dividerer med koefficienten for , bliver resultatet, at de andre led i ligningen bliver brøker. Det betyder ikke, at du har gjort noget forkert, men at du skal arbejde med brøker i din omskrivning.
Nu er det din tur til at løse en ligning som denne.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.