If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 14

Modul 8: Mere om kvadratkomplettering
Matematik
Algebra 1
Andengradsfunktioner og ligninger
Mere om kvadratkomplettering
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

Google Classroom
For eksempel, løs x² + 6x = -2 ved at omskrive det til x² + 6x = -2 og derefter tage kvadratroden på begge sider.

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Hvad du kommer til at lære i denne lektion

Indtil videre har du enten løst andengradsligninger ved at tage kvadratroden eller ved faktorisering. Disse metoder er forholdsvis enkle og effektive, når det er relevant. Det er desværre ikke altid, at de kan anvendes.
I denne lektion vil du lære en metode til at løse enhver form for andengradsligning.

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

Betragt ligningen x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. Vi kan ikke løse denne ligning ved at tage kvadratroden eller ved at faktorisere.
Men håbet er ikke ude! Vi kan bruge en metode, som hedder kvadratkomplettering, hvor vi bruger kvadratsætningerne til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse. Lad os starte med løsningen og derefter gennemgå det i dybden.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7Læg 9 til pa˚ begge sider, sa˚ venstre side kan omskrives.(3)(x+3)2=7Omskriv venstre side til kvadratet pa˚ en toleddet størrelse.(4)(x+3)2=±7Tag kvadratroden pa˚ begge sider.(5)x+3=±7(6)x=±7−3Træk 3 fra pa˚ begge sider.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Læg 9 til på begge sider, så venstre side kan omskrives.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Omskriv venstre side til kvadratet på en toleddet størrelse.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Tag kvadratroden på begge sider.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&& x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Træk 3 fra på begge sider.}\end{aligned}
Løsningerne er x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 og x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

Hvad skete der her?

Målet med lægge 9 til x, squared, plus, 6, x i række start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd havde det heldige resultat, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. På denne form kunne vi løse ligningen ved at tage kvadratroden.
Det var naturligvis ikke tilfældigt. Tallet 9 blev nøje udvalgt, så det resulterende udtryk kunne faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse.

Hvordan bruger vi kvadratkomplettering

For at forstå, hvorfor 9 blev valgt, bør vi stille os selv følgende spørgsmål: Hvis x, squared, plus, 6, x er begyndelsen til kvadratet på en toleddet størrelse, hvad skal konstantleddet så være?
Lad os antage, at udtrykket kan faktoriseres til kvadratet på en toleddet størrelse, left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, hvor værdien af konstanten a stadig er ukendt. Dette udtryk kan ganges ud til x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, hvilket fortæller os to ting:
  1. Koefficienten for x, som vi ved er 6, svarer til 2, a. Det betyder, at a, equals, 3.
  2. Det konstante led, som vi skal lægge til, svarer til a, squared, som er 3, squared, equals, 9.
Prøv selv at bestemme de konstante led, som skal lægges til, for at kunne omskrive nedenstående udtryk til kvadratet på en toleddet størrelse.
Opgave 1
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x, squared, plus, 10, x ?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 2
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x, squared, minus, 2, x ?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 3
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ?
  • Dit svar skal være
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5

Udfordrende opgave
Hvad er det manglende konstante led i den kvadratsætning, som starter med x, squared, plus, b, dot, x?
Vælg 1 svar:

Denne udfordring giver os en genvej til at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse (for dem der kan lide genveje og ikke har noget imod huske ting): Den viser os, at for at omskrive x, squared, plus, b, x kvadratet på en toleddet størrelse, hvor b er et givent tal, skal vi lægge left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared til.
For eksempel, for at omskrive x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x til kvadratet på en toleddet størrelse, lægger vi left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 til det.

Løsning af ligninger én gang til

Okay! Nu hvor du er certificeret i kvadratkomplettering, så lad os gå tilbage til processen med at løse ligninger ved at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse.
Lad os se på et nyt eksempel, ligningen x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13Læg 25 til pa˚ begge sider.(3)(x−5)2=13Omskriv til kvadratet pa˚ en toleddet størrelse.(4)(x−5)2=±13Tag kvadratroden pa˚ begge sider.(5)x−5=±13(6)x=±13+5læg 5 til pa˚ begge sider.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Læg 25 til på begge sider.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Tag kvadratroden på begge sider.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{læg 5 til på begge sider.}\end{aligned}
For at omskrive det oprindelige udtryk på venstre side, x, squared, minus, 10, x, til kvadratet på en toleddet størrelse, lagde vi 25 til i række start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. Som altid i ligninger så gjorde vi det samme på den højre side, hvilket ændrede minus, 12 til 13.
Helt generelt afhænger valget af tallet, som vi lægger til for at kunne omskrive til kvadratet på toleddet størrelse, ikke af højre side, men vi skal altid huske at lægge tallet til på begge sider.
Nu er det din tur til at løse nogle ligninger.
Opgave 4
Løs x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
Vælg 1 svar:

Opgave 5
Løs x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
Vælg 1 svar:

Før du omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse

Regel 1: Adskil de variable led fra det konstante led

Her vises, hvordan vi løser ligningen x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1Træk x fra pa˚ begge sider.(3)x2+4x=7Læg 6 til pa˚ begge sider.(4)x2+4x+4=11Læg 4 til pa˚ begge sider.(5)(x+2)2=11Omskriv til kvadratet pa˚ en toleddet størrelse.(6)(x+2)2=±11Tag kvadratroden pa˚ begge sider.(7)x+2=±11(8)x=±11−2Træk 2 fra pa˚ begge sider.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Træk $x$ fra på begge sider.}}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Læg 6 til på begge sider.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Læg 4 til på begge sider.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Tag kvadratroden på begge sider.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Træk 2 fra på begge sider.}\end{aligned}
At omskrive en af ligningens sider til kvadratet på en toleddet størrelse er ikke nyttigt, hvis vi har et x-led på den anden side. Det er derfor, vi trak x fra i række start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, så vi fik alle de variable led over på venstre side.
For at omskrive x, squared, plus, 4, x til kvadratet på en toleddet størrelse, skal vi lægge 4 til, men før vi gør det, skal vi sørge for, at alle konstante led er på den anden side af ligningen. Det er derfor, vi lægger 6 til i række start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, så x, squared, plus, 4, x står for sig selv.

Regel 2: Sørg for at koefficienten foran x, squared er lig med 1.

Her vises, hvordan vi løser ligningen 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14Divider med 3 pa˚ begge sider.(3)x2−12x+36=22Læg 36 til pa˚ begge sider.(4)(x−6)2=22Omskriv til kvadratet pa˚ en toleddet størrelse. (5)(x−6)2=±22Tag kvadratroden pa˚ begge sider.(6)x−6=±22(7)x=±22+6Læg 6 til pa˚ begge sider.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Divider med 3 på begge sider.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Læg 36 til på begge sider.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Omskriv til kvadratet på en toleddet størrelse. }\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Tag kvadratroden på begge sider.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Læg 6 til på begge sider.}\end{aligned}
Metoden med at omskrive til kvadratet på en toleddet størrelse virker kun, hvis koefficienten foran x, squared er 1.
Det er derfor vi i række start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c dividerede med koefficienten for x, squared, som er 3.
Nogle gange, når vi dividerer med koefficienten for x, squared, bliver resultatet, at de andre led i ligningen bliver brøker. Det betyder ikke, at du har gjort noget forkert, men at du skal arbejde med brøker i din omskrivning.
Nu er det din tur til at løse en ligning som denne.
Opgave 6
Løs 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.