If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Forstå løsningsformlen for andengradsligninger

Få mere indsigt i løsningsformlen, og hvordan den bruges i andengradsligninger
Løsningsformlen for andengradsligninger hjælper dig med at bestemme løsningen (eller løsningerne) til en andengradsligning, og den er formentlig en af de fem mest brugte formler i matematik.  Vi er ikke tilhængere af at kunne huske formler udenad, men denne ene er nyttig at kunne (og vi mener, at du bør lære at udlede den såvel som at bruge den, men det ser vi på i en anden video!).
Hvis du har en generel andengradsligning på denne form:
ax2+bx+c=0
Så kan formlen hjælpe dig med at finde rødderne (løsningerne) for en andengradsligning, dvs. bestemme de værdier af x, som gør ligningen sand.

Løsningsformlen for andengradsligningen

x=b±b24ac2a
Den ser måske lidt skræmmende ud, men du bliver hurtigt vant til den!
Øv dig i at bruge formlen nu.

Eksempel 1

Vi skal først identificere værdierne af a, b og c (kan aflæses fra ligningen).  Første skridt er at sikre, at andengradsligningen er på formen: ax2+bx+c=0
x2+4x21=0
  • a er koefficienten foran x2, så her er a=1 (bemærk, at a ikke kan være lig med 0, da leddet x2 bliver 0, og så er det ikke længere en andengradsligning).
  • b er koefficienten foran x, så her er b=4.
  • c er konstantleddet, som er leddet uden et x, så her er c=21.
Vi indsætter a, b og c i løsningsformlen:
x=4±1641(21)2
løsningen af dette ser sådan her ud:
x=4±1002=4±102=2±5
Derfor er x=3 eller x=7

Hvad fortæller denne løsning os?

De to løsninger er grafens skæringer med x-aksen, dvs. der hvor kurven skærer x-aksen. Ligningen x2+3x4=0 ser sådan her ud:
hvor løsningerne til andengradsligningen, altså skæringerne med x-aksen, er x=4 og x=1.
Man kan også løse en andengradsligning ved at faktorisere eller løse den grafisk, så hvorfor skal vi bruge en formel?
Fordi nogle gange er andengradsligninger lidt sværere at løse end det første eksempel.

Eksempel 2

Lad os prøve dette på en ligning, der er svær at faktorisere:
3x2+6x=10
Lad os først få det omskrevet til en form, hvor alle leddene står på venstre side:
(3)ax2+(6)bx+(10)c=0
Formlen giver os:
x=6±62431023=6±361206=6±846
Vi ved, at man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal uden at bruge imaginære tal (som du lærer om senere), så det fortæller os, at der ikke er nogle reelle løsninger til denne ligning. Det betyder, at der ikke er noget punkt, hvor y=0, så grafen skærer altså ikke x-aksen.  Vi kan også se dette, når vi tegner grafen på en graflommeregner:
Nu har du fået det grundlæggende om formlen for andengradsligninger!
Der er mange flere gennemregnede eksempler i de følgende videoer.

Tips til brug af løsningsformlen for andengradsligninger

  • Vær sikker på at ligningen er skrevet på den rigtige form: ax2+bx+c=0, ellers virker den ikke!
  • Sørg for, at du tager kvadratroden af hele (b24ac), og at 2a  er nævneren for det hele
  • Hold styr på fortegnene: b2 kan ikke være negativt, så hvis b er negativ, så sørg for, at kvadratet af den ændres til en positiv værdi, fordi kvadratet af et negativt tal eller et positivt tal er begge et positivt tal.
  • Behold +/  og vær altid på udkig efter TO løsninger
  • Hvis du bruger en lommeregner, kan du afrunde svaret til et bestemt antal decimaler.  Hvis du bliver bedt om det eksakte svar (det er ikke unormalt), og kvadratroden ikke let kan kan reduceres, så behold kvadratroden i svaret, f.eks. 2102 og 2+102

Næste skridt:

Khan Academy video wrapper
Using the quadratic formulaSe videoens afskrift
  • Bevis for løsningsformlen:
Khan Academy video wrapper
Proof of the quadratic formulaSe videoens afskrift

Vil du deltage i samtalen?

  • blobby green style avatar for brugeren Bensgk
    I videoen for beviset taler han om "completing the square", men jeg føler ikke det emne er blevet dækket i dette Algebra 1 kursus. Hvilken video/kursus refererer han til?
    (1 stemme)
    Default Khan Academy avatar avatar for brugeren
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.