Andengradsfunktioner og ligninger

Et andengradsfunktion er en funktion, der kan skrives på formen $f(x)=a{x}^2+bx+c$‍, hvor $a$‍, $b$‍ og $c$‍ er konstanter.

En parabel er formen på grafen for en andengradsfunktion. Det ligner en symmetrisk "U", og kan åbne enten opad eller nedad afhængig af funktionen.

Prøv selv i vores øvelse Introduktion til parabler.

Andengradsfunktioner dukker op i en række applikationer den virkelige verden. For eksempel, hvis vi kaster en bold i luften, så kan højden af bolden som funktion af tid modelleres med en andengradsfunktion.

Prøv selv i vores øvelse Fortolk parabler.

Løsningsformlen for andengradsligninger er en formel, vi kan bruge til at løse enhver andengradsfunktion. Den ser sådan ud: $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$‍, hvor $a$‍, $b$‍ og $c$‍ refererer til koefficienterne i andengradsligningen skrevet på standardform: $a{x}^2+bx+c=0$‍.

Prøv selv i vores øvelse Løsningsformel for andengradsligning.

En andengradsfunktion er på faktoriseret form, når det er skrevet som et produkt af to lineære faktorer. For eksempel, $g(x)=(x+2)(x-3)$‍ er den faktoriserede form af $g(x)=x^2-x-6$‍. Den faktoriserede form er særlig nyttig, fordi vi kan sætte hver faktor lig med nul for at finde skæring med $x$‍-aksen på grafen for funktionen. F. eks. skærer grafen for $g(x)$‍ $x$‍-aksen ved $x=-2$‍ og $x=3$‍.

Øv dig i vores øvelse Tegn parabler i faktoriseret form.

Toppunktsform er en anden måde at skrive en andengradsligning. Den ser sådan ud: $f(x)=a(x-h{)}^2+k$‍, hvor $a$‍, $h$‍ og $k$‍ er konstanter. Toppunktsformen er særlig nyttig til at tegne andengradspolynomier, fordi toppunktet af parabolen er placeret i punktet $(h,k)$‍.

Øv dig i vores øvelse Tegn grafen for en andengradsfunktion i toppunktsform.

Kvadratkomplettering er en teknik, vi kan bruge til at omskrive en andengradsligning eller funktion til en anden form. Vi adderer og subtraherer led for at få den ene side af ligningen til at ligne en kvadratsætning. Dette kan hjælpe os med at løse ligningen eller tegne funktionen.

Træn med vores Kvadratkomplettering (intro).

Fortsæt dernæst med øvelsen Løs andengradsligninger med kvadratkomplettering.

Forskellige metoder fungerer bedre i forskellige situationer. For eksempel, hvis en andengradsligning allerede er faktoriseret, vil det at løse ved hjælp af faktoriseret form normalt være den nemmeste måde at gøre det på. Men hvis den ikke er faktoriseret, vil det måske være nemmere at bruge løsningsformlen eller kvadratkomplettering.

Prøv selv i vores øvelse Strategier til at løse andengradsligninger.