If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Løsning af andengradsligninger ved at tage kvadratroden

Lær at løse andengradsligninger som x²=36 eller (x-2)²=49

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Hvad du kan lære i dette modul

Indtil nu har du løst lineære ligninger , som indeholder konstanter (almindelige tal) og variable af første grad, x1=x.
Du vil nu lære at løse andengradsligninger, som indeholder led, hvor variablen er i anden potens, x2.
Her er et nogle eksempler på typer af andengradsligninger, som du lærer at løse:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
Lad os nu komme til sagen.

Løsning af x2=36 og lignende ligninger

Antag, at vi ønsker at løse ligningen x2=36. Lad os først sætte ord på, hvad det er, vi skal finde. Vi skal finde ud af, hvilket tal, der ganget med sig selv, giver 36.
Hvis dette spørgsmål lyder bekendt, er det fordi, at kvadratroden af 36 defineres på denne måde. Matematisk skriver vi det som 36.
Dette er den komplette løsning af ligningen:
x2=36x2=36Tag kvadratroden på begge sider.x=±36x=±6
Lad os gennemgå, hvad der foregik i denne løsning.

Hvad symbolet ± betyder

Bemærk, at alle positive tal har to kvadratrødder: en positiv kvadratrod og en negativ kvadratrod. For eksempel giver både 6 og 6 tallet 36, når vi opløfter dem i anden. Derfor har denne ligning to løsninger.
± er bare en smartere måde at repræsentere dette koncept matematisk. For eksempel betyder ±6 "enten 6 eller 6."

En bemærkning om inverse regneoperationer

Når vi løser lineære ligninger, isolerer vi den ukendte variabel ved at bruge omvendte regneoperationer: Hvis der bliver lagt 3 til variablen, skal trække 3 fra begge sider. Hvis variablen bliver ganget med 4, skal vi dividere begge sider med 4.
Den omvendte regneoperation af at kvadrere (opløfte noget i anden), er at tage kvadratroden. Men i modsætning til de andre regneoperationer, skal vi, når vi tager kvadratroden, huske at tage både de positive og de negative kvadratrødder.
Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.
Opgave 1
Løs x2=16.
x=±
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 2
Løs x2=81.
x=±
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 3
Løs x2=5.
Vælg 1 svar:

Løsning af (x2)2=49 og lignende ligninger

Sådan her finder vi løsningen til ligningen (x2)2=49:
(x2)2=49(x2)2=49Tag kvadratroden på begge sider.x2=±7x=±7+2Læg 2 til på begge sider.
Derfor er løsningerne x=9 og x=5.
Lad os gennemgå, hvad der foregik i denne løsning.

Isolering af x

Ved at bruge den omvendte regneoperation af at kvadrere, tage kvadratroden, fjernede vi i anden. Det var nødvendigt for at kunne isolere x, men vi skal stadig lægge 2 til i det sidste trin for at isolere x.

Forståelse af løsningerne

Vores arbejde endte med x=±7+2. Hvordan skal vi forstå dette udtryk? Husk at ±7 betyder "enten +7 eller 7." Derfor kan vi opdele vores svar i følgende to tilfælde: enten x=7+2 eller x=7+2.
Det giver os to løsninger: x=9 og x=5.
Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.
Opgave 4
Løs (x+3)2=25.
Vælg 1 svar:

Opgave 5
Løs (2x1)2=9.
Vælg 1 svar:

Opgave 6
Løs (x5)2=7.
Vælg 1 svar:

Hvorfor vi ikke bør gange ind i parenteserne

Lad os gå tilbage til vores eksempel, (x2)2=49. Lad os sige, at vi ønskede at gange parenteserne ud. Det gør vi jo normalt i lineære ligninger.
Ganger vi parenteserne ud, så får vi følgende ligning:
x24x+4=49
Hvis vi tager kvadratroden her, så skal vi tage kvadratroden af hele udtrykket x24x+4, men det er ikke helt tydeligt, hvad x24x+4 giver.
At tage kvadratroden af udtryk som x2 eller (x2)2 giver os derimod pæne udtryk såsom x eller (x2).
Det er derfor faktisk nyttigt i andengradsligninger at holde udtrykkene i faktoriseret form, da dette gør det muligt for os at tage kvadratroden.

Løsning af 2x2+3=131 og lignende ligninger

Ikke alle andengradsligninger løses ved straks at tage kvadratroden. Nogle gange skal vi isolere leddet, hvor variablen er i anden, inden vi tager kvadratroden.
For eksempel, for at løse ligningen 2x2+3=131 skal vi først isolere x2. Dette gøres på samme måde, som når vi isolerer x i en lineær ligning.
2x2+3=1312x2=128Træk 3 fra begge sider.x2=64Dividér med 2 på begge sider.x2=64Tag kvadratroden på begge sider.x=±8
Løs nu et par lignende ligninger på egen hånd.
Opgave 7
Løs 3x27=5.
Vælg 1 svar:

Opgave 8
Løs 4(x1)2+2=38.
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave
Løs x2+8x+16=9.
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.