If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 13

Modul 6: Faktorisering af andegradspolynomier med gruppering
Matematik
Algebra 1
Multiplikation og faktorisering af andengradspolynomier
Faktorisering af andegradspolynomier med gruppering
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Faktorisering af andengradspolynomier: ledende koefficient ≠ 1

Google Classroom
Lær at faktorisere andengradspolynomier som produktet af to lineære toleddede udtryk. For eksempel, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Hvad du skal vide inden denne lektion

Grupperingsmetoden kan bruges til faktorisere polynomier med 4 led ved at tage fælles faktorer ud flere gange. Hvis dette er nyt for dig, kan du tjekke artiklen Introduktion til faktorisering med gruppering.
Vi anbefaler også, at du læser artiklen om faktorisering af andengradspolynomier med ledende koefficient på 1, før du fortsætter.

Hvad du kommer til at lære i dette modul

I denne artikel vil vi bruge gruppering til at faktorisere andengradspolynomier med en ledende koefficient forskellig fra 1, som f.eks. 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Eksempel 1: Faktorisering af 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Da den ledende koefficient for left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis er start color #11accd, 2, end color #11accd, kan vi ikke bruge sum-produkt metoden til at faktorisere andengradspolynomiet.
For at faktorisere start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff er vi i stedet nødt til at finde to heltal med et produkt på start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (den ledende koefficient ganget med konstantleddet) og en sum på start color #e07d10, 7, end color #e07d10 ( x-koefficienten).
Da start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 og start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, er de to tal vi skal bruge start color #01a995, 1, end color #01a995 og start color #01a995, 6, end color #01a995.
Disse to tal fortæller os, hvordan vi skal dele x-leddet op i det oprindelige udtryk. Nu vi kan udtrykke vores polynomium som 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Nu kan vi bruge gruppering til at faktorisere polynomiet:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Gruppering af led=x(2x+1)+3(2x+1)Faktoriseˊr ud SFF=x(2x+1)+3(2x+1)Fælles faktor!=(2x+1)(x+3)Faktoriseˊr ud 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Gruppering af led}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Faktorisér ud SFF}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Fælles faktor!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Faktorisér ud } 2x+1}} \end{aligned}
Den faktoriserede form er left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Vi kan tjekke faktoriseringen ved at vise, at vi får 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, når vi ganger faktorerne sammen.

Opsamling

Generelt kan vi bruge de følgende trin for at faktorisere et andengradspolynomium på formen start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Start med at finde to tal, som ganget sammen giver start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff og lagt sammen giver start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Brug disse tal til at dele x-leddet op.
  3. Brug gruppering til at faktorisere andengradspolynomiet.

Tjek din forståelse

1) Faktorisér 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Vælg 1 svar:

2) Faktorisér 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Eksempel 2: Faktorisering af 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

For at faktorisere start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, skal vi finde to heltal med et produkt på start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 og en sum på start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Da start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 og start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, er tallene start color #01a995, 3, end color #01a995 og start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Vi kan nu skrive leddet minus, 5, x som summen af start color #01a995, 3, end color #01a995, x og start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x og bruge gruppering til at faktorisere polynomiet:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Gruppering af led(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Faktoriseˊr ud SFF(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Reducer(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Fælles faktor!(5)=(2x+1)(3x−4)Faktoriseˊr ud 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Gruppering af led}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Faktorisér ud SFF}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Reducer}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Fælles faktor!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Faktorisér ud } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Den faktoriserede form er left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Vi kan tjekke faktoriseringen ved at vise, at vi får 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4, når vi ganger faktorerne sammen.
Bemærk: I trin start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd bliver der, fordi det tredje led er negativt, indsat et "+" for at sikre, at det nye er ækvivalent med det oprindelige. Desuden har vi i trin start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd brug for at faktorisere et negativt SFF ud fra anden gruppering for at få den fælles faktor på 2, x, plus, 1. Vær meget opmærksom på fortegnene!

Tjek din forståelse

3) Faktorisér 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Vælg 1 svar:

4) Faktorisér 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Faktorisér 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Hvornår er denne metode brugbar?

Metoden er god til at faktorisere andengradspolynomier på formen a, x, squared, plus, b, x, plus, c, selv når a, does not equal, 1.
Men det er ikke altid muligt at faktorisere et andengradspolynomium på denne form med denne metode.
Lad os f.eks. tage eksemplet start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. For at faktorisere dette udtryk, skal vi finde to heltal, der ganget sammen giver start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 og lagt sammen giver start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Du kan prøve lige så mange gange du vil, men du vil ikke kunne finde de to tal.
Derfor virker metoden ikke for start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff og en række andre andengradspolynomier.
Det er vigtigt at huske, at hvis denne metode ikke virker, kan udtrykket ikke faktoriseres som left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis hvor A, B, C og D er heltal.

Hvorfor virker denne metode?

Lad os kigge nærmere på, hvorfor denne metode virker. Vi kommer til at bruge en masse bogstaver for at vise det, så bær over med os!
Lad os antage, at andengradspolynomiet på den generelle form a, x, squared, plus, b, x, plus, c kan faktoriseres som left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, hvorA, B, C og D alle er heltal.
Når vi ganger parenteserne ud, får vi left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Da dette udtryk er ækvivalent med a, x, squared, plus, b, x, plus, c, skal de tilsvarende koefficienter i de to udtryk også være lig med hinanden! Det giver os følgende relation mellem alle de ubekendte bogstaver:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Lad os nu definere m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 og n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Ifølge denne definition...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
og
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
Og derfor er start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 og start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff de to heltal, som vi altid leder efter, når vi bruger denne faktoriseringsmetode!
Næste trin i metoden, efter m og n er fundet, er at dele x-koefficienten left parenthesis, b, right parenthesis ud fra m og n og faktorisere med gruppering.
Hvis vi deler x-leddet left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x op i left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, kan vi bruge gruppering til at faktorisere vores udtryk tilbage til left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
I denne lektion har vi...
  • lagt ud med at kigge på det generelle udtryk a, x, squared, plus, b, x, plus, c og dets generelle faktorisering left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • lært at finde to tal, m og n således, at m, n, equals, a, c og m, plus, n, equals, b left parenthesisdet gjorde vi ved at definere m, equals, B, C og n, equals, A, D, right parenthesis,
  • lært at dele x-leddet b, x op i m, x, plus, n, x og var i stand til at faktorisere udtrykket tilbage til left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Denne proces viser, at hvis et udtryk kan faktoriseres som left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, så vil vores metode sikre, at vi finder denne faktorisering.
Tak for du holdt ud!

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.