If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Faktorisering af andengradspolynomier: ledende koefficient ≠ 1

Lær at faktorisere andengradspolynomier som produktet af to lineære toleddede udtryk. For eksempel, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Hvad du skal vide inden denne lektion

Grupperingsmetoden kan bruges til faktorisere polynomier med 4 led ved at tage fælles faktorer ud flere gange. Hvis dette er nyt for dig, kan du tjekke artiklen Introduktion til faktorisering med gruppering.
Vi anbefaler også, at du læser artiklen om faktorisering af andengradspolynomier med ledende koefficient på 1, før du fortsætter.

Hvad du kommer til at lære i dette modul

I denne artikel vil vi bruge gruppering til at faktorisere andengradspolynomier med en ledende koefficient forskellig fra 1, som f.eks. 2x2+7x+3.

Eksempel 1: Faktorisering af 2x2+7x+3

Da den ledende koefficient for (2x2+7x+3) er 2, kan vi ikke bruge sum-produkt metoden til at faktorisere andengradspolynomiet.
For at faktorisere 2x2+7x+3 er vi i stedet nødt til at finde to heltal med et produkt på 23=6 (den ledende koefficient ganget med konstantleddet) og en sum på 7 ( x-koefficienten).
Da 16=6 og 1+6=7, er de to tal vi skal bruge 1 og 6.
Disse to tal fortæller os, hvordan vi skal dele x-leddet op i det oprindelige udtryk. Nu vi kan udtrykke vores polynomium som 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Nu kan vi bruge gruppering til at faktorisere polynomiet:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Gruppering af led=x(2x+1)+3(2x+1)Faktorisér ud SFF=x(2x+1)+3(2x+1)Fælles faktor!=(2x+1)(x+3)Faktorisér ud 2x+1
Den faktoriserede form er (2x+1)(x+3).
Vi kan tjekke faktoriseringen ved at vise, at vi får 2x2+7x+3, når vi ganger faktorerne sammen.

Opsamling

Generelt kan vi bruge de følgende trin for at faktorisere et andengradspolynomium på formen ax2+bx+c:
  1. Start med at finde to tal, som ganget sammen giver ac og lagt sammen giver b.
  2. Brug disse tal til at dele x-leddet op.
  3. Brug gruppering til at faktorisere andengradspolynomiet.

Tjek din forståelse

1) Faktorisér 3x2+10x+8.
Vælg 1 svar:

2) Faktorisér 4x2+16x+15.

Eksempel 2: Faktorisering af 6x25x4

For at faktorisere 6x25x4, skal vi finde to heltal med et produkt på 6(4)=24 og en sum på 5.
Da 3(8)=24 og 3+(8)=5, er tallene 3 og 8.
Vi kan nu skrive leddet 5x som summen af 3x og 8x og bruge gruppering til at faktorisere polynomiet:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Gruppering af led(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Faktorisér ud SFF(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Reducer(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Fælles faktor!(5)=(2x+1)(3x4)Faktorisér ud 2x+1
Den faktoriserede form er (2x+1)(3x4).
Vi kan tjekke faktoriseringen ved at vise, at vi får 6x25x4, når vi ganger faktorerne sammen.
Bemærk: I trin (1) bliver der, fordi det tredje led er negativt, indsat et "+" for at sikre, at det nye er ækvivalent med det oprindelige. Desuden har vi i trin (2) brug for at faktorisere et negativt SFF ud fra anden gruppering for at få den fælles faktor på 2x+1. Vær meget opmærksom på fortegnene!

Tjek din forståelse

3) Faktorisér 2x23x9.
Vælg 1 svar:

4) Faktorisér 3x22x5.

5) Faktorisér 6x213x+6.

Hvornår er denne metode brugbar?

Metoden er god til at faktorisere andengradspolynomier på formen ax2+bx+c, selv når a1.
Men det er ikke altid muligt at faktorisere et andengradspolynomium på denne form med denne metode.
Lad os f.eks. tage eksemplet 2x2+2x+1. For at faktorisere dette udtryk, skal vi finde to heltal, der ganget sammen giver 21=2 og lagt sammen giver 2. Du kan prøve lige så mange gange du vil, men du vil ikke kunne finde de to tal.
Derfor virker metoden ikke for 2x2+2x+1 og en række andre andengradspolynomier.
Det er vigtigt at huske, at hvis denne metode ikke virker, kan udtrykket ikke faktoriseres som (Ax+B)(Cx+D) hvor A, B, C og D er heltal.

Hvorfor virker denne metode?

Lad os kigge nærmere på, hvorfor denne metode virker. Vi kommer til at bruge en masse bogstaver for at vise det, så bær over med os!
Lad os antage, at andengradspolynomiet på den generelle form ax2+bx+c kan faktoriseres som (Ax+B)(Cx+D), hvorA, B, C og D alle er heltal.
Når vi ganger parenteserne ud, får vi (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Da dette udtryk er ækvivalent med ax2+bx+c, skal de tilsvarende koefficienter i de to udtryk også være lig med hinanden! Det giver os følgende relation mellem alle de ubekendte bogstaver:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Lad os nu definere m=BC og n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Ifølge denne definition...
m+n=BC+AD=b
og
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
Og derfor er BC og AD de to heltal, som vi altid leder efter, når vi bruger denne faktoriseringsmetode!
Næste trin i metoden, efter m og n er fundet, er at dele x-koefficienten (b) ud fra m og n og faktorisere med gruppering.
Hvis vi deler x-leddet (BC+AD)x op i (BC)x+(AD)x, kan vi bruge gruppering til at faktorisere vores udtryk tilbage til (Ax+B)(Cx+D).
I denne lektion har vi...
  • lagt ud med at kigge på det generelle udtryk ax2+bx+c og dets generelle faktorisering (Ax+B)(Cx+D),
  • lært at finde to tal, m og n således, at mn=ac og m+n=b (det gjorde vi ved at definere m=BC og n=AD),
  • lært at dele x-leddet bx op i mx+nx og var i stand til at faktorisere udtrykket tilbage til (Ax+B)(Cx+D).
Denne proces viser, at hvis et udtryk kan faktoriseres som (Ax+B)(Cx+D), så vil vores metode sikre, at vi finder denne faktorisering.
Tak for du holdt ud!

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.