Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 9

Modul 2: Konstruktion af aritmetiske talfølger

Omskrivning mellem rekursive og eksplicitte formler for aritmetiske talfølger

Lær at omskrive mellem rekursive og eksplicitte formler for aritmetiske talfølger.

Før du følger denne lektion, skal du vide hvordan man kan finde rekursive formler og eksplicitte formler for aritmetiske sekvenser.

Omskrivning fra rekursiv formel til eksplicit formel

En aritmetisk talfølge har følgende rekursive formel.

$\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}$

Husk, at denne formel giver os de følgende to oplysninger:

Det første led er start color #0d923f, 3, end color #0d923f
For at få ethvert led skal vi lægge start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 til det foregående led. Med andre ord, differensen er start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.

Lad os finde en eksplicit formel for talfølgen.

Husk på, at vi kan repræsentere en talfølge, hvor første led er start color #0d923f, A, end color #0d923f, og differensen er start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, med den eksplicitte standardformel start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

En eksplicit formel for talfølgen er derfor a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Tjek din forståelse

1) Skriv en eksplicit formel for talfølgen.

\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}

b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

[Jeg har brug for hjælp!]

2) Skriv en eksplicit formel for talfølgen.

\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}

c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

[Jeg har brug for hjælp!]

Omskrivning fra eksplicit formel til rekursiv formel

Eksempel 1: Formlen er givet på standardform

Vi får givet følgende eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge.

d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Denne eksplicitte formel er givet på standardformen start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, hvor start color #0d923f, A, end color #0d923f er det første led, og start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 er differensen. Derfor

er det første led i talfølgen start color #0d923f, 5, end color #0d923f, og
differensen er start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.

Lad os finde en rekursiv formel for talfølgen. Husk, at den rekursive formel giver os to oplysninger:

Det første led left parenthesissom vi ved er start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
Mønster-reglen for at få ethvert led ud fra leddet, der kommer før det left parenthesissom vi ved er "læg start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6 til"right parenthesis

Derfor er dette en rekursiv formel for talfølgen.

\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Eksempel 2: Formlen er givet på reduceret form

Vi får givet følgende eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge.

e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n

Bemærk, at denne formel ikke er givet på standardformen for eksplicitte talfølger start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Derfor kan vi ud fra formlen ikke direkte aflæse det første led og differensen. Vi kan i stedet finde de to første led:

e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14

Nu kan vi se, at det første led er start color #0d923f, 12, end color #0d923f, og differensen er start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.

Derfor er dette en rekursiv formel for talfølgen.

\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Tjek din forståelse

3) Den eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge er f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Indsæt de manglende værdier i den rekursive formel for talfølgen.

\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}


A, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Jeg har brug for hjælp!]

4) Den eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge er g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Indsæt de manglende værdier i den rekursive formel for talfølgen.

\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}


A, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Jeg har brug for hjælp!]

5) Den eksplicitte formel for en aritmetiske sekvens er h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.

Indsæt de manglende værdier i den rekursive formel for talfølgen.

\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}


A, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Jeg har brug for hjælp!]

8) Den eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge er i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.

Indsæt de manglende værdier i den rekursive formel for talfølgen.

\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}


A, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Dit svar skal være et heltal, som f.eks. 6 en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5 en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4 et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4 et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75 et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Jeg har brug for hjælp!]

Udfordrende opgave

7 *) Vælge alle de formler, som korrekt repræsenterer den aritmetisk talfølge 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point

(Valg A)
$\begin{cases} j(1)=13\\\\ j(n)=j(n-1)+101 \end{cases}$
(Valg B)
$\begin{cases} j(1)=101\\\\ j(n)=j(n-1)+13 \end{cases}$
(Valg C)
$\begin{cases} j(1)=114\\\\ j(n)=j(n-1)+13 \end{cases}$
(Valg D)
j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 101, plus, 13, n
(Valg E)
j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 88, plus, 13, n
(Valg F)
j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 114, plus, 13, n
(Valg G)
j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 101, plus, 13, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

[Jeg har brug for hjælp!]

Sortér efter:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.