If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 9

Modul 2: Konstruktion af aritmetiske talfølger
Matematik
Algebra 1
Talfølger
Konstruktion af aritmetiske talfølger
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Eksplicitte formler for aritmetiske talfølger

Google Classroom
Lær at finde eksplicitte formler for aritmetiske talfølger. Find f.eks. en eksplicit formel for talfølgen 3, 5, 7...
Før du følger denne lektion, så sørg for, at du er fortrolig med det grundlæggende omkring formler for aritmetiske talfølger.

Hvordan eksplicitte formler fungerer

Her er en eksplicit formel for talfølgen 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
I formlen er n ethvert led, og a, left parenthesis, n, right parenthesis er værdien af det n, start superscript, start text, end text, end superscript. led.
Med denne formel kan vi simpelthen bare indsætte nummeret på leddet, som vi er interesserede i, og vi får værdien af dette led.
For eksempel, for at bestemme det femte led skal vi indsætte n, equals, 5 i den eksplicitte formel.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Cool! Dette er faktisk det femte led i 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Tjek din forståelse

1) Find b, left parenthesis, 10, right parenthesis i talfølgen givet ved b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opstilling af eksplicitte formler

Betragt den aritmetisk talfølge 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point Det første led i talfølgen er start color #0d923f, 5, end color #0d923f, og differensen er start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Vi kan få ethvert led i talfølgen ved at tage det første led start color #0d923f, 5, end color #0d923f og lægge differensen start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 til det gentagne gange. Tjek for eksempel nedenstående beregninger af de første led.
nUdregning af det n, start superscript, start text, end text, end superscript. led
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Tabellen viser, at vi kan finde det n, start text, point, end text led (hvor n er ethvert led) ved at tage det første led start color #0d923f, 5, end color #0d923f og lægge differensen start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 til n, minus, 1 gange. Dette kan skrives algebraisk som start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Generelt er dette den eksplicitte standardform for aritmetiske talfølger, hvis første led er start color #0d923f, A, end color #0d923f, og differensen er start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Tjek din forståelse

2) Skriv en eksplicit formel for talfølgen 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Skriv en eksplicit formel for talfølgen 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Den eksplicitte formel for talfølgen er f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Hvad er det første led i talfølgen?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Hvad er differensen?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ækvivalente eksplicitte formler

Eksplicitte formler kan have mange former.
For eksempel, de følgende er alle eksplicitte formler for talfølgen 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (dette er standardformlen)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Formlerne ser måske forskellige ud, men det vigtigste er, at vi kan indsætte en n-værdi og få det korrekte n, start superscript, start text, end text, end superscript. led (prøv selv og se, om de andre formler er korrekte!).
Forskellige eksplicitte formler, der beskriver den samme talfølge, kaldes ækvivalente formler.

En typisk misforståelse

En aritmetisk talfølge kan have forskellige ækvivalente formler, men det er vigtigt at huske på, at kun standardformlen giver os det første led og differensen.
For eksempel har talfølgen 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point et første led på start color #0d923f, 2, end color #0d923f og en differens på start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Den eksplicitte formel start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis beskriver denne talfølge, men den eksplicitte formel start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n beskriver en anden talfølge.
For at omskrive formlen 1, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis til en ækvivalent formel A, plus, B, n, kan vi gange ind i parentesen og reducere:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Nogle folk foretrækker måske formlen minus, 4, plus, 6, n i stedet for den ækvivalente formel 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, fordi den er kortere. Fordelen ved den længere formel er, at den giver os det første led.

Tjek din forståelse

5) Find alle korrekte eksplicitte formler for talfølgen 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Vælg alle svar der passer:

Udfordrende opgaver

6*) Find det 124. led for den aritmetiske talfølge 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) Det første led i en aritmetisk talfølge er 5, og det tiende led er 59.
Hvad er differensen?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.