Hovedindhold

Emne: (Algebra 1 > Emne 9

Modul 1: Introduktion til aritmetiske talfølger

Introduktion til aritmetiske talfølger

Google Classroom

Bliv fortrolig med talfølger generelt og lær, hvad aritmetiske talfølger er.

Før du følger denne lektion, skal du vide, hvordan man lægger til og trækker fra med negative tal.

Hvad er en talfølge?

Her er nogle lister med tal:

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

En liste med tal, som er skrevet i en eller anden rækkefølge, kaldes en talfølge. Hvert tal i en talfølge kaldes et led.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
$1 . led$ ‍	$2 . led$ ‍	$3 . led$ ‍

Talfølger har normalt et mønster, som gør, at vi kan forudsige, hvad det næste led bliver.

For eksempel skal vi i talfølgen 3, 5, 7 ..., altid lægge to til for at få det næste led:

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

De tre prikker i slutningen af talfølgen indikerer, at talfølgen kan forlænges, selvom vi kun kan se de første få led.

Vi kan forlænge talfølgen ved at kigge på mønstret.

For eksempel er det fjerde led 9, det femte led er 11, osv.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

Tjek din forståelse

Udvid talfølgen ifølge deres mønster.

Opgave 1

Mønster: Læg fem til det foregående led for at få det næste led.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		Dit svar skal være et heltal, som f.eks. $6$ ‍ en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis $3 / 5$ ‍ en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis $7 / 4$ ‍ et blandet tal, som eksempelvis $1 3 / 4$ ‍ et eksakt decimaltal, som eksempelvis $0, 75$ ‍ et multiplum af pi, som f.eks. $12 pi$ ‍ eller $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Opgave 2

Mønster: Træk tre fra det foregående led for at få det næste led.

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		Dit svar skal være et heltal, som f.eks. $6$ ‍ en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis $3 / 5$ ‍ en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis $7 / 4$ ‍ et blandet tal, som eksempelvis $1 3 / 4$ ‍ et eksakt decimaltal, som eksempelvis $0, 75$ ‍ et multiplum af pi, som f.eks. $12 pi$ ‍ eller $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Opgave 3

Mønster: Gang det foregående led med to for at få det næste led.

	$\cdot 2 ↷$ ‍		$\cdot 2 ↷$ ‍		$\cdot 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		Dit svar skal være et heltal, som f.eks. $6$ ‍ en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis $3 / 5$ ‍ en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis $7 / 4$ ‍ et blandet tal, som eksempelvis $1 3 / 4$ ‍ et eksakt decimaltal, som eksempelvis $0, 75$ ‍ et multiplum af pi, som f.eks. $12 pi$ ‍ eller $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		$18, …$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		$11, …$ ‍

	$\cdot 2 ↷$ ‍		$\cdot 2 ↷$ ‍		$\cdot 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		$24, …$ ‍

Opgave 4

Knyt hver talfølge til dens mønster.

1

Her er talfølgerne med deres mønstre:

	$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$11,$ ‍		$18,$ ‍		$25, …$ ‍

	$: 2 ↷$ ‍		$: 2 ↷$ ‍		$: 2 ↷$ ‍
$40,$ ‍		$20,$ ‍		$10,$ ‍		$5, …$ ‍

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$100,$ ‍		$96,$ ‍		$92,$ ‍		$88, …$ ‍

	$\cdot 3 ↷$ ‍		$\cdot 3 ↷$ ‍		$\cdot 3 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$12,$ ‍		$36,$ ‍		$108, …$ ‍

Hvad er en aritmetisk talfølge?

I flere af eksemplerne ovenfor skal vi enten lægge til eller trække fra med det samme tal hver gang for at få det næste led i talfølgen. Talfølger med den slags mønstre kaldes aritmetiske talfølger.

I en aritmetisk talfølge er differensen (forskellen) mellem to på hinanden efterfølgende led altid den samme.

For eksempel er talfølgen 3, 5, 7, 9 ... aritmetisk, fordi differensen mellem to på hinanden efterfølgende led altid er to.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

Talfølgen 21, 16, 11, 6 ... er også aritmetisk, fordi differensen mellem to på hinanden efterfølgende led altid er minus fem.

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

Talfølgen 1, 2, 4, 8 ... er ikke aritmetisk, fordi differensen mellem to på hinanden efterfølgende led ikke altid er den samme.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Tjek din forståelse

Opgave 5

Vælg alle aritmetiske talfølger.

Her er talfølgerne med deres differenser:

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$11,$ ‍		$15,$ ‍		$19,$ ‍		$23, …$ ‍

Differensen mellem to på hinanden følgende led i talfølgen ovenfor er altid 4, så det er en aritmetisk talfølge.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍
$0,$ ‍		$1,$ ‍		$3,$ ‍		$6, …$ ‍

Differensen mellem to på hinanden følgende led i talfølgen ovenfor er ikke den samme alle steder, så det her er ikke en aritmetisk talfølge.

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 18 ↷$ ‍		$+ 54 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$9,$ ‍		$27,$ ‍		$81, …$ ‍

Differensen mellem to på hinanden følgende led i talfølgen ovenfor er ikke den samme alle steder, så det her er ikke en aritmetisk talfølge.

	$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍
$29,$ ‍		$20,$ ‍		$11,$ ‍		$2, …$ ‍

Differensen mellem to på hinanden følgende led i talfølgen ovenfor er altid minus ni, så det er en aritmetisk talfølge.

Opgave 6

Det første led i en talfølge er 1. Hvilke af følgende mønstre gør talfølgen aritmetisk?

(Valg A)
Læg fire til det foregående led for at få det næste led.
(Valg B)
Gang det foregående led med fire for at få det næste led.
(Valg C)
Træk fire fra det foregående led for at få det næste led.
(Valg D)
Dividér det foregående led med fire for at få det næste led.

Betydningen af "læg fire til det foregående led for at få det næste led" er, at differensen mellem to på hinanden følgende led altid er fire. Så dette mønster beskriver en aritmetisk talfølge.

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$5,$ ‍		$9,$ ‍		$13, …$ ‍

På samme måde beskriver mønstret "træk fire fra det foregående led for at få det næste led" en aritmetisk talfølge, hvor differensen altid er minus fire.

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 7,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Derimode giver mønstret "gang det foregående led med fire for at få det næste led" ikke en talfølge, hvor differensen mellem to på hinanden følgende led er den samme.

	$+ 3 ↷$ ‍		$+ 12 ↷$ ‍		$+ 48 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$4,$ ‍		$16,$ ‍		$64, …$ ‍

På samme måde giver mønstret "dividér det foregående led med fire for at få det næste led" heller ikke en aritmetisk talfølge.

	$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{16} ↷$ ‍		$- \frac{3}{64} ↷$ ‍
$1,$ ‍		$\frac{1}{4},$ ‍		$\frac{1}{16},$ ‍		$\frac{1}{64}, …$ ‍

Differensen

Differensen i en aritmetisk talfølge er forskellen mellem to på hinanden følgende led, og den er altid konstant.

For eksempel, differensen i talfølgen 10, 21, 32, 43 ... er 11:

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

Differensen i talfølgen –2, –5, –8, –11 ... er minus tre:

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Tjek din forståelse

Opgave 7

Hvad er differensen i talfølgen 2, 8, 14, 20 ...?

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$8,$ ‍		$14,$ ‍		$20, …$ ‍

Opgave 8

Hvad er differensen i talfølgen $5, 2, - 1, - 4 …$ ‍?

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$5,$ ‍		$2,$ ‍		$- 1,$ ‍		$- 4, …$ ‍

Opgave 9

Hvad er differensen i talfølgen $1, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{3}, 2, …$ ‍?

	$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍
$1$ ‍		$1 \frac{1}{3},$ ‍		$1 \frac{2}{3},$ ‍		$2, …$ ‍

Spørgsmål til overvejelse

Hvilket udsagn er sandt om en aritmetisk talfølge, hvor differensen er minus tre?

En negativ differens betyder, at vi skal trække noget fra fra et led for at få det næste led. Med andre ord, alle led er altid faldende.

Det er ikke nødvendigt, at alle led i talfølgen er positive, eller at de alle er negative. Her er aritmetiske talfølger, der har både negative og positive led, men de har alle en negativ differens.

	$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$1,$ ‍		$0,$ ‍		$- 1, …$ ‍

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$7,$ ‍		$2,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 8, …$ ‍

	$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 13,$ ‍		$- 21, …$ ‍

Bemærk, hvordan alle de ovenstående talfølger har led, der altid er faldende.

Udfordrende opgave

Det første led i en aritmetisk talfølge er 10, og differensen er minus syv.

Hvad er det fjerde led i talfølgen?

Vi får at vide, at det første led er 10, og at differensen er minus syv. Med denne information kan vi udvide talfølgen, indtil vi når til det fjerde led:

	$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$3,$ ‍		$- 4,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Det fjerde led i talfølgen er -11.

Hvad er næste skridt?

Lær om formler for aritmetiske talfølger, som gør, at vi kan bestemme ethvert led i en talfølge.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

VilladsClaes
Slået op et år siden. Direkte link til VilladsClaess opslag “Hvad hedder de andre talf...”
Hvad hedder de andre talfølger hvor leddene fx multipliceres?
Knap navigerer til tilmeldingssideKnap navigerer til tilmeldingsside
(1 stemme)
Svar

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.