If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 9

Modul 1: Introduktion til aritmetiske talfølger
Matematik
Algebra 1
Talfølger
Introduktion til aritmetiske talfølger
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til formler for aritmetiske talfølger

Google Classroom
Bliv fortrolig med det grundlæggende omkring eksplicitte og rekursive formler for aritmetiske talfølger.
Før du går igang med denne lektion, så sørg for, at du kender til det grundlæggende omkring aritmetiske talfølger og ved, hvordan man udregner funktionsværdier og funktioners definitionsmængder.

Hvad er en formel?

Vi er vant til at beskrive aritmetiske talfølger på følgende måde:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Men der findes andre måder. I denne lektion skal vi lære to nye måder at repræsentere aritmetiske talfølger på: rekursive formler og eksplicitte formler. Formler gør, at vi kan bestemme ethvert led i en talfølge.
Generelt kan det siges, at i formler repræsenterer n leddets nummer, og a, left parenthesis, n, right parenthesis repræsenterer værdien af det n, start text, point, end text led i talfølgen. Her er f.eks. de første led i en aritmetisk talfølge: 3, 5, 7, ...
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(Leddets nummer)(Værdien af det n, start text, point, end text led)
13
25
37
Vi nævnte ovenfor, at formler gør, at vi kan bestemme ethvert led i en talfølge. Nu kan vi formulere det på følgende måde: formler gør, at vi kan bestemme a, left parenthesis, n, right parenthesis for ethvert n.

Tjek din forståelse

1) Bestem a, left parenthesis, 4, right parenthesis i talfølgen 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Hvad repræsenterer a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis for ethvert led-nummer n?
Vælg 1 svar:

Rekursive formler for aritmetiske talfølger

Rekursive formler angiver to oplysninger:
  1. Det første led i talfølgen
  2. Reglen/mønstret for, hvordan man bestemmer det næste led ud fra det led, der kommer lige før
Her er den rekursive formel for vores talfølge 3, 5, 7, ... sammen med en forklaring til hver del.
{a(1)=3←Det første led er 3.a(n)=a(n−1)+2←Læg 2 til det forega˚ende led for at fa˚ det næste led.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{Det første led er 3.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{Læg 2 til det foregående led for at få det næste led.}} \end{cases}
For eksempel, for at bestemme det femte led skal vi forlænge talfølgen, et led ad gangen:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Cool! Denne formel giver os den samme talfølge, som er givet ved 3, 5, 7, ...

Tjek din forståelse

Nu er det din tur til at bestemme led for talfølger ud fra deres rekursive formler.
Ligesom vi brugte a, left parenthesis, n, right parenthesis til at repræsentere det n, start text, point, end text led i talfølgen 3, 5, 7, ..., kan vi bruge andre bogstaver til at repræsentere andre talfølger. For eksempel kan vi bruge b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis eller d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) Bestem b, left parenthesis, 4, right parenthesis i talfølgen givet ved {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Bestem c, left parenthesis, 3, right parenthesis i talfølgen givet ved {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Bestem d, left parenthesis, 5, right parenthesis i talfølgen givet ved {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0{,}4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Eksplicitte formler for aritmetiske talfølger

Nedenfor ses en eksplicit formel for talfølgen 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Denne formel gør, at vi kan indsætte leddets nummer og på den måde bestemme leddets værdi.
For eksempel, for at bestemme det femte led skal vi indsætte n, equals, 5 i den eksplicitte formel.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Jamen se her, vi får præcis det samme svar som før!

Tjek din forståelse

6) Bestem b, left parenthesis, 10, right parenthesis i talfølgen givet ved b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Bestem c, left parenthesis, 8, right parenthesis i talfølgen givet ved c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Bestem d, left parenthesis, 21, right parenthesis i talfølgen givet ved d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Talfølger er funktioner

Bemærk, at formlerne, som vi bruger i denne lektion, virker ligesom funktioner: Vi indsætter et tal, n, i funktionen, og den giver os funktionsværdien, a, left parenthesis, n, right parenthesis, for den værdi.
Talfølger er faktisk defineret som funktioner. Værdien n kan dog ikke være ethvert reelt tal. Vi kan f.eks. ikke have negative tal eller decimaltal som leddets nummer. Der findes ikke noget led med nummeret minus 5 eller 0,4.
Det betyder, at definitionsmængden for talfølgen — som er leddets nummer n — udelukkende består af positive heltal.

En bemærkning om notation

Vi har brugt notationen a, left parenthesis, 4, right parenthesis til f.eks. at repræsentere det fjerde led, men du vil også kunne bruge a, start subscript, 4, end subscript.
Begge notationer er lige gode at bruge. Vi foretrækker a, left parenthesis, 4, right parenthesis, fordi den understreger, at talfølger er funktioner.

Spørgsmål til overvejelse

9) Hvilken type formel er mest praktisk at bruge for hurtigt at kunne bestemme led nummer 100 i en aritmetisk talfølge?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

10) Den eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge er f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Hvilket led-nummer har værdien minus, 65?
Led nummer
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.