If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Introduktion til formler for aritmetiske talfølger

Bliv fortrolig med det grundlæggende omkring eksplicitte og rekursive formler for aritmetiske talfølger.
Før du går igang med denne lektion, så sørg for, at du kender til det grundlæggende omkring aritmetiske talfølger og ved, hvordan man udregner funktionsværdier og funktioners definitionsmængder.

Hvad er en formel?

Vi er vant til at beskrive aritmetiske talfølger på følgende måde:
3,5,7,
Men der findes andre måder. I denne lektion skal vi lære to nye måder at repræsentere aritmetiske talfølger på: rekursive formler og eksplicitte formler. Formler gør, at vi kan bestemme ethvert led i en talfølge.
Generelt kan det siges, at i formler repræsenterer n leddets nummer, og a(n) repræsenterer værdien af det n. led i talfølgen. Her er f.eks. de første led i en aritmetisk talfølge: 3, 5, 7, ...
na(n)
(Leddets nummer)(Værdien af det n. led)
13
25
37
Vi nævnte ovenfor, at formler gør, at vi kan bestemme ethvert led i en talfølge. Nu kan vi formulere det på følgende måde: formler gør, at vi kan bestemme a(n) for ethvert n.

Tjek din forståelse

1) Bestem a(4) i talfølgen 3, 5, 7, ...
a(4)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

2) Hvad repræsenterer a(n1) for ethvert led-nummer n?
Vælg 1 svar:

Rekursive formler for aritmetiske talfølger

Rekursive formler angiver to oplysninger:
  1. Det første led i talfølgen
  2. Reglen/mønstret for, hvordan man bestemmer det næste led ud fra det led, der kommer lige før
Her er den rekursive formel for vores talfølge 3, 5, 7, ... sammen med en forklaring til hver del.
{a(1)=3Det første led er 3.a(n)=a(n1)+2Læg 2 til det foregående led for at få det næste led.
For eksempel, for at bestemme det femte led skal vi forlænge talfølgen, et led ad gangen:
a(n)=a(n1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
Cool! Denne formel giver os den samme talfølge, som er givet ved 3, 5, 7, ...

Tjek din forståelse

Nu er det din tur til at bestemme led for talfølger ud fra deres rekursive formler.
Ligesom vi brugte a(n) til at repræsentere det n. led i talfølgen 3, 5, 7, ..., kan vi bruge andre bogstaver til at repræsentere andre talfølger. For eksempel kan vi bruge b(n), c(n) eller d(n).
3) Bestem b(4) i talfølgen givet ved {b(1)=5b(n)=b(n1)+9
b(4)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

4) Bestem c(3) i talfølgen givet ved {c(1)=20c(n)=c(n1)17
c(3)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

5) Bestem d(5) i talfølgen givet ved {d(1)=2d(n)=d(n1)+0,4
d(5)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Eksplicitte formler for aritmetiske talfølger

Nedenfor ses en eksplicit formel for talfølgen 3, 5, 7, ...
a(n)=3+2(n1)
Denne formel gør, at vi kan indsætte leddets nummer og på den måde bestemme leddets værdi.
For eksempel, for at bestemme det femte led skal vi indsætte n=5 i den eksplicitte formel.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11
Jamen se her, vi får præcis det samme svar som før!

Tjek din forståelse

6) Bestem b(10) i talfølgen givet ved b(n)=5+9(n1).
b(10)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

7) Bestem c(8) i talfølgen givet ved c(n)=2017(n1).
c(8)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

8) Bestem d(21) i talfølgen givet ved d(n)=2+0,4(n1).
d(21)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Talfølger er funktioner

Bemærk, at formlerne, som vi bruger i denne lektion, virker ligesom funktioner: Vi indsætter et tal, n, i funktionen, og den giver os funktionsværdien, a(n), for den værdi.
Talfølger er faktisk defineret som funktioner. Værdien n kan dog ikke være ethvert reelt tal. Vi kan f.eks. ikke have negative tal eller decimaltal som leddets nummer. Der findes ikke noget led med nummeret minus 5 eller 0,4.
Det betyder, at definitionsmængden for talfølgen — som er leddets nummer n — udelukkende består af positive heltal.

En bemærkning om notation

Vi har brugt notationen a(4) til f.eks. at repræsentere det fjerde led, men du vil også kunne bruge a4.
Begge notationer er lige gode at bruge. Vi foretrækker a(4), fordi den understreger, at talfølger er funktioner.

Spørgsmål til overvejelse

9) Hvilken type formel er mest praktisk at bruge for hurtigt at kunne bestemme led nummer 100 i en aritmetisk talfølge?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

10) Den eksplicitte formel for en aritmetisk talfølge er f(n)=34(n1).
Hvilket led-nummer har værdien 65?
Led nummer
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.