If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:11:45

Video udskrift

Lad os løse nogle opgaver med dobbeltuligheder. En dobbeltulighed er bare 1 sæt af 2 uligheder. Det bliver klart, hvad det er lige om lidt. I den første opgave har vi, at minus 5 er mindre end eller lig med x minus 4, som er mindre end eller lig med 13. Vi har 2 sæt af betingelser for x, som skal opfyldes i udtrykket. x minus 4 skal være større end eller lig med minus 5, og x minus 4 skal være mindre end eller lig med 13. Vi kan omskrive dobbeltuligheden til minus 5 skal være mindre end eller lig med x minus 4, og x minus 4 skal være mindre end eller lig med 13. Vi løser hver af de 2 for sig, men vi skal huske, at der står "og", når vi finder løsninger for dobbeltuligheden. Det skal være løsninger, som opfylder både den ulighed og den ulighed. Lad os løse dem hver for sig først. I den her kan vi lægge 4 til på begge sider. På venstre side minus 5 plus 4. Det er minus 1. Minus 1 er mindre end eller lig med x. 4-tallene går ud, og vi har bare 1 x på højre side. Den venstre side kan forkortes til x skal være større end eller lig med minus 1, eller minus 1 er mindre end eller lig med x. Vi kan også skrive det som x skal være større end eller lig med minus 1. De 2 betyder det samme. Vi vendte bare uligheden. Lad os nu se på den del i den grønne kasse her. Lad os lægge 4 til begge på sider. På venstre side får vi bare x. På højre side får vi 13 plus 4. Det er 17. Vi har nu, at x er mindre end eller lig med 17. Vores 2 betingelser er, at x skal være større end eller lig med minus 1 og mindre end eller lig med 17. Vi kan omskrive det til en dobbeltulighed, hvis vi vil. Lad os gøre det. Løsningen er de x-værdier, som er mindre end eller lig med 17 og større end eller lig med minus 1. Begge betingelser skal være opfyldt. Hvordan ser det ud på en tallinje? Lad os tegne en tallinje hér. Lad os sige, at det er 17. Der er 18 og så videre. Det her er 0. Der er selvfølgelig en masse tal i mellem. Her er minus 1 og der er minus 2. x er større end eller lig med minus 1, så vi starter ved minus 1. Vi fylder cirklen ud, fordi vi har tegnet for 'større end eller lig med'. x er større end minus 1, men det skal også være mindre end eller lig med 17. Det kunne være lig med 17 eller mindre end 17. Løsningerne er alle de x, som er markeret med orange. Hvis vi vil skrive det med intervalnotation, så er det x er mellem minus 1 og 17, og det kan også være lig med minus 1, så vi sætter en kantet parentes, og det kan også være lig med 17. Det er intervalnotationen for løsningen af dobbeltuligheden. Lad os tage en mere. Lad os tage en interessant en. Lad os sige, at vi har minus 12. Vi ændrer opgaven en smule. Minus 12 er mindre end 2 minus 5x, som er mindre end eller lig med 7. Vi vælger en opgave, hvor der er en 'mindre end' og en 'mindre end eller lig med'. Vi vælger at have 2 forskellige typer ulighedstegn, for det er godt at se et eksempel med begge typer ulighedstegn. Først kan vi opdele den i 2 almindelige uligheder. Hér er den ene ulighed. Vi ved, at minus 12 skal være mindre end 2 minus 5x. Det skal være opfyldt, og den her ulighed skal også være opfyldt. 2 minus 5x skal være mindre end 7 og større end 12, mindre end eller lig med 7 og større end minus 12, så 2 minus 5x skal være mindre end eller lig med 7. Dem løser vi bare hver for sig. Vi skal af med de 2 på venstre side her. Lad os trække 2 fra på begge sider af den her ulighed. Når vi trækker 2 fra begge sider af uligheden, bliver venstre side bliver minus 14 er mindre end. 2 går ud, og det er mindre end minus 5x. Lad os dividere begge sider med minus 5. Husk, at når vi ganger eller dividerer med et negativt tal, skal vi vende ulighedstegnet. Når vi dividerer begge sider med minus 5, får vi minus 14 over minus 5, og vi har 1x på højre side. Vi dividerer med minus 5 og vender tegnet, så det bliver til et 'større end'-tegn. Minus-fortegnene går ud, og vi har 14/5 er større end x, eller x er mindre end 14/5. Hvad giver det? Det er 2 og 4/5. x er mindre end 2 og 4/5. Vi omskrev bare den uægte brøk til et blandet tal. Lad os se på den anden ulighed. Den her i lilla. Vi trækker 2 fra på begge sider af den her ulighed, som vi gjorde før. Vi kunne gøre det samtidigt, men det bliver let uoverskueligt. For at undgå sjuskefejl er det bedst at adskille dem, som vi gør her. Vi trækker igen 2 fra begge sider af uligheden. Venstre side bliver minus 5x, og det er mindre end eller lig med, højre side bliver 7 minus 2, det er 5. Vi dividerer nu begge sider med minus 5. På venstre side får vi et x. På højre side er det 5 divideret med minus 5. Det er minus 1. Vi dividerer med et negativt tal, så vi skal vende ulighedstegnet. Det var et 'mindre end eller lig med' og bliver til et 'større end eller lig med'. Vi har nu de 2 løsninger. x skal være mindre end 2 og 4/5, og det skal være større end eller lig med minus 1. Vi skriver det som et interval. x skal være større end eller lig med minus 1. Det er den nedre grænse for intervallet, og det skal være er mindre end 2 og 4/5. Læg mærke til, at det ikke er mindre end eller lig med. Det er derfor, vi har en almindelig kurvet parentes der, fordi det ikke kan være lig med 2 og 4/5. x skal være mindre end 2 og 4/5. Vi kan også skrive det på en anden måde. x skal være mindre end 2 og 4/5. Det er bare den ulighed vendt om, og det skal være større end eller lig med minus 1. De 2 udtryk er ens. Vi kan også tegne det på en tallinje. Her er minus 1 og 2 og 4/5 er her. Der er naturligvis tal ind i mellem. 0 er her. Det skal være større end eller lig med minus 1. Det kan godt være lig med minus 1, så cirklen er udfyldt. Det skal også være større end minus 1, men det skal også være mindre end 2 og 4/5. Det kan ikke være 2 og 4/5. Det kan ikke være lig med 2 og 4/5. Det kan kun være mindre end, så vi sætter en tom cirkel omkring 2 og 4/5, og så er det alle tal mindre end hele vejen ned til minus 1. 1 er med, fordi vi har tegnet for mindre end eller lig med. De 2 første opgaver kunne vi kalde "og"-opgaver. Vi skal opfylde begge betingelser. Lad os nu tage en "eller"-opgave. Lad os sige, at vi har de her uligheder. Lad os sige, at 4x minus 1 skal være større end eller lig med 7, eller 9x over 2 skal være mindre end 3. Når vi siger "eller", er løsningerne alle de x, som vil opfylde 1 af de 2 uligheder. I de sidste par opgaver skulle vi finde x'er, der opfyldte begge uligheder. Her er det mere frit. Vi skal bare at opfylde 1 af de 2. Lad os finde løsninger for dem begge hver for sig og bagefter alle de mulige løsninger. Kombinationen af alle de x'er, der opfylder 1 af de 2 uligheder. På venstre side kan vi lægge 1 til på begge sider. Vi lægger 1 til på begge sider. På venstre side bliver det 4x er større end eller lig med 7 plus 1. Det er 8. Vi dividerer begge sider med 4. Vi får så, at x er større end eller lig med 2. Eller... Lad os nu tage den her. Hvis vi ganger begge sider med 2/9, hvad får vi så? Vi ganger begge sider med 2/9. Det er et positivt tal, så vi skal ikke vende ulighedstegnet. De 2 går ud, og vi får x er mindre end 3 gange 2/9. 3/9 er det samme som 1/3, så x skal være mindre end 2/3. x er mindre end 2/3. Vi har nu de 2 sæt af løsninger for de 2 uligheder. x skal være større end eller lig med 2 eller mindre end 2/3. Det er interessant. Lad os tegne løsningerne på tallinjen. Det er vores tallinje. Det er 0, 1, 2, 3. Det er minus 1. x skal være større end eller lig med 2. Vi kan starte med 2 her, og det skal være større end eller lig med 2, så vi inkluderer alt, der er større end eller lig med 2. Det er den løsning dér. Den anden løsning siger, at x også skal være mindre end 2/3. 2/3 er her omkring. Der er 2/3. x kan være mindre end 2/3. Det er interessant, for hvis vi vælger et af de her tal, vil det opfylde den her ulighed. Hvis vi vælger et af de her tal, vil det opfylde den her ulighed. Hvis der havde stået "og" her, ville der ikke have været nogle tal, som opfylder den, fordi et tal kan ikke både være større end 2 og mindre end 2/3. Grunden til, at vi har en løsning til opgaven er, fordi det er en "eller"-opgave. x skal bare opfylde 1 af de 2 uligheder. Vi er færdige, men hvis man synes, at det gik lidt hurtigt, er der flere eksempler i de næste videoer.