Gennemgang af ækvivalente ligningssystemer

Ligningssystemer, som har det den samme løsning (eller løsninger), kaldes ækvivalente ligningssystemer.

Givet et ligningssystem med to ligninger kan vi danne et ækvivalent ligningssystem ved at erstatte en af ligningerne med summen af begge ligninger, eller ved at erstatte en af ligningerne med et multiplum af den selv (gange den igennem med en konstant).

Omvendt kan vi med sikkerhed sige, at to ligningssystemer ikke er ækvivalente, hvis vi ved, at løsningen til det ene ikke er en løsning til det andet.

Vi får givet to ligningssystemer og bliver spurgt, om de er ækvivalente.

Hvis vi ganger den anden ligning i ligningsystem B med $3$‍, får vi:

Hvis vi erstatter den anden ligning i ligningsystem B med denne nye ligning, er det nye ligningsystem B ækvivalent med det gamle ligningssystem B:

Jamen hov! Se lige der! Dette ligningsystem er præcis det samme som ligningssystem A, hvilket betyder, at ligningssystem A er ækvivalent med ligningssystem B.

Vi får givet to ligningssystemer og bliver spurgt, om de er ækvivalente.

Meget interessant, hvis vi lægger de to ligninger sammen i ligningssystem A, får vi:

Hvis vi erstatter den første ligning i ligningssystem A med denne nye ligning, er det nye ligningssystem A stadig ækvivalent med det gamle ligningssystem A:

Jamen se her! Det her er jo ligningssystem B, hvilket betyder, at ligningssystem A og ligningssystem B er ækvivalente.

Vi får givet to ligningssystemer og bliver bedt om at vise, at de ikke er ækvivalente ved at finde en løsning i det ene, som ikke er en løsning i det andet.

Bemærk, at koefficienterne for $x$‍ og $y$‍ i den anden ligning i hvert ligningssystem er de samme. Konstantleddene er dog forskellige, og de to ligninger er derfor ikke ækvivalente!

Uanset hvilken værdi af $x$‍ og $y$‍, der gør ligningssystem A sand, vil de samme værdier gøre ligningssystem B falsk, og omvendt.

For eksempel er værdierne $x=1$‍ og $y=1$‍ en løsning til den anden ligning i ligningssystem A, men de er ikke en løsning til den anden ligning i ligningssystem B.

Ligningsssystem A og ligningssystem B er ikke ækvivalente.