If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 6

Modul 5: Antallet af løsninger til ligningssystemer
Matematik
Algebra 1
Ligningssystemer
Antallet af løsninger til ligningssystemer
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Gennemgang af antal løsninger til ligningssystemer

Google Classroom
Et lineært ligningssystem har normalt en enkelt løsning, men nogle gange kan det have nul løsninger (parallelle linjer) eller uendelig mange løsninger (samme linje). Denne artikel gennemgår alle tre tilfælde.
Et koordinatsystem. Begge akser har markeringer for hver en halv. Hver anden markering fra minus 1 til 3 er mærket. En ret linje går gennem punkterne minus en halv komma 3 og 3 komma 2. Endnu en ret linje går gennem punkterne 0 komma 0 og 1 komma 1. De to linjer skærer hinanden i et punkt med en x værdi mellem 2 og 3 og en y værdi mellem 2 og 3.
Èn løsning. Et lineært ligningssystem har én løsning, når graferne skærer hinanden.
Et koordinatsystem. Begge akser har markeringer for hver en halv. Hver anden markering fra minus 1 til 3 er mærket. En ret linje går gennem punkterne 1 komma 1 en halv og 3 komma 1. Endnu en ret linje går gennem punkterne 1 komma to en halv og 3 komma 2. De to linjer skærer ikke hinanden.
Ingen løsning. Et lineært ligningssystem har ingen løsning, når graferne er parallelle.
Et koordinatsystem. Begge akser har markeringer for hver en halv. Hver anden markering fra minus 1 til 3 er mærket. En ret linje går gennem punkterne 0 komma 1 en halv og 3 komma 2. Endnu en ret linje går gennem punkterne 0 komma 1 en halv og 3 komma 2. De to linjer ligger oven i hinanden.
Uendelig antal løsninger. Et lineært ligningssystem har et uendeligt antal løsninger, når graferne er de samme to linjer (de ligger oveni hinanden).
Vil du lære mere om antal løsninger til ligningssystemer? Tjek denne video.

Eksempel på ligningssystem med én løsning

Vi bliver bedt om at finde antallet af løsninger til dette ligningssystem:
y=−6x+83x+y=−4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
Lad os skrive dem på formen y = ax + b:
y=−6x+8y=−3x−4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Da hældningerne er forskellige, skærer linjerne hinanden. Her er graferne:
Et koordinatsystem. Begge akser har markeringer for hver 1. Hver anden markering fra minus 8 til 8 er mærket. Grafen for linjen y er lig med minus 6 x plus 8 er afbildet og går gennem punkterne 0 komma 8 og 1 komma 2. Grafen for linjen y er lig med minus 3 x minus 4 er afbildet og går gennem punkterne 0 komma minus 4 og 1 komma minus 7. De to linjer vil skære hinanden men uden for den afbildede del af koordinatsystemet.
Fordi linjerne skærer hinanden, er der én løsning til ligningssystemet, som linjerne repræsenterer.

Eksempel på ligningssystem med ingen løsning

Vi bliver bedt om at finde antallet af løsninger til dette ligningssystem:
y=−3x+9y=−3x−7\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Uden at tegne disse ligninger, kan vi konstatere, at de begge har en hældning på minus, 3. Det betyder, at linjerne er parallelle, og fordi deres skæringer med y-aksen er forskellige, ved vi, at linjerne ikke ligger oveni hinanden.
Der er ingen løsning til dette ligningssystem.

Eksempel på ligningssystem med uendelige antal løsninger

Vi bliver bedt om at finde antallet af løsninger til dette ligningssystem:
−6x+4y=23x−2y=−1\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
Sjovt nok, hvis vi ganger den anden ligning med minus, 2, får vi den første ligning:
3x−2y=−1−2(3x−2y)=−2(−1)−6x+4y=2\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
Med andre ord er ligningerne er ækvivalente (ens) og har den samme graf. Enhver løsning, der virker for én ligning vil også virke for den anden ligning, så der er uendelige antal løsninger til systemet.

Øvelsesopgaver

Opgave 1
  • Nuværende
Hvor mange løsninger har dette ligningssystem?
y=−2x+47y=−14x+28\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
Vælg 1 svar:

Vil du løse flere opgaver af denne slags? Tjek disse øvelser:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.