Ligningssystemers antal løsninger: frugtstykker (1 af 2)

Kongens rådgiver Arbegla lytter til en diskussion mellem os, kongen og fuglen. Han bliver lidt jaloux, fordi det er ham, der burde være klogeste mand i kongeriget. Arbegle afbryder og siger: Okay, hvis I og den fugl er så kloge, hvorfor løser I så ikke gåden om frugtpriserne? Kongen udbryder: Ja! Det er noget, vi har haft store problemer med. Frugtpriserne. Arbegla fortæl dem gåden om frugtpriserne. Arbegla siger: Altså, vi vil gerne holde styr på frugtpriserne, men vi glemte at skrive dem ned, da vi var på markedet. Vi ved, hvor meget vi betalte i alt, og vi ved, hvad vi fik. For en uge siden, da vi var på markedet, købte vi 2 pund æbler og 1 pund bananer. Den samlede pris for 2 pund æbler og 1 pund bananer var 3 kroner. Gangen før det købte vi derimod 6 pund æbler og 3 pund bananer. Den dag brugte vi i alt 15 kroner. Vi vil vide, hvad prisen på æbler og bananer er. Vi kigger på fuglen. Fuglen kigger på os, og den hvisker noget ind i kongens øre. Kongerne fortæller, at fuglen siger, vi skal starte med at definere nogle variable, så vi kan udtrykke det her algebraisk. Det gør vi! Vi skal finde prisen på æbler og prisen på bananer. Prisen per pund. Lad a være lig med prisen på æbler per pund. Vi lader b være lig med prisen på bananer. Vi har noget information her. 2 pund æbler og 1 pund bananer koster 3 kroner. Hvor meget koster æblerne? De koster 2 pund gange prisen per pund, altså a. Det er den samlede pris for æbler. Hvad er den samlede pris for bananer? Den er 1 pund gange prisen per pund, altså b. Det er den samlede pris på bananer. Den samlede pris for æbler og bananer er lig med 2a plus b, og vi ved, at den samlede pris er 3. Lad os nu gøre det samme for den anden gang. Der blev købt 6 pund æbler. Den samlede pris vil være 6 pund gange a kroner per pund. Den samlede pris for bananer. Der blev købt 3 pund bananer. Prisen per pund for bananer er b. Den samlede pris for både æbler og bananer er lig med 15. Lad os overveje, hvordan vi skal løse det her. Vi kan bruge eliminering, eller vi kan bruge substitution. Vi kan også løse det grafisk. Lad os først prøve med eliminering. Først skal vi beslutte, hvad vi vil eliminere. Det kunne være den her variable a herovre. Vi har 2a og 6a, så hvis vi ganger denne ligning med minus 3, bliver 2a til minus 6a og a'erne kan reduceres. Vi ganger hele denne ligning med minus 3. Det bliver minus 3 gange 2a, som er minus 6a. Minus 3 gange b er minus 3b. Minus 3 gange 3 er lig med minus 9. Nu kan vi lægge de 2 ligninger sammen. Vi lægger den venstre side til den venstre side, og den højre side til den højre side. Vi lægger altså det samme til på begge sider af ligningen, fordi vi ved, at det her er lig med det her. Lad os gøre det. På venstre side går 6a og minus 6a ud med hinanden. Der sker dog noget interessant. 3b og minus 3b går også ud med hinanden. Der står derfor 0 tilbage på venstre side. Hvad har vi på højre side? Vi har 15 minus 9, som er 6. Vi får altså det her mærkelige resultat. Alle vores variable er væk. Vi står tilbage med et resultat, der ikke giver mening. 0 er lig med 6. Det kan ikke passe. Hvad sker der her? Nu siger vi: Hvad foregår der? Vi kigger på fuglen. Fuglen lader nemlig til at være den klogeste i det her rum. Igen hvisker fuglen ind i kongens øre, og kongen siger: Fuglen siger, at der ikke er nogen løsning, og at I skal prøve at afbilde ligninger for at se hvorfor. Vi tror på fuglen, så lad os prøve at afbilde dem, så vi kan se, hvad der foregår. Vi skal altså tage de her 2 ligninger, som vi skal have på formen y = ax + b, så er de lettere at afbilde. Vi skal isolere b i begge ligninger. I den første ligning trækker vi 2a fra på begge sider. Hvis vi trækker 2a fra på begge sider, får vi b er lig med minus 2a plus 3. Det skal vi også gøre i den anden ligning. Først trækker vi 6a fra på begge sider. Nu får vi 3b er lig med minus 6a plus 15. Nu skal vi dividere begge sider med 3. Vi får b er lig med minus 2a plus 5. Den anden ligning har vi altså omskrevet til b er lig med minus 2a plus 5. Vi har ikke afbildet dem endnu, men her er noget interessant. Begge ligninger har samme hældning, men de har forskellig skæring med b-aksen. Lad os afbilde dem og se, hvad der sker. Vi tegner nogle akser her. Det her er b-aksen, og det her er a-aksen. Den første ligning har skæring med b-aksen i plus 3. Lad os se. 1, 2, 3, 4, 5. Den første har skæring med b-aksen i plus 3 og en hældning på minus 2. Når vi går 1 til højre, går vi 2 ned. 1 til højre, 2 ned. Linjen ser nogenlunde sådan her ud. Den grønne har skæring med b-aksen i 5. Det er her. Hældningen er den samme, nemlig minus 2. Den ser altså nogenlunde sådan her ud. Vi kan nu se, at fuglen havde ret. Der er ingen løsning, fordi graferne for de 2 ligninger aldrig skærer hinanden. De har intet skæringspunkt. Fuglen havde altså ret i, at der ikke findes nogen løsning. Der er ingen x- og y-værdier, der kan gøre det her udsagn sandt. 0 er lig med 6 vil aldrig være sandt. Pludselig bliver vi opmærksomme på, at Arbegla prøver at snyde os! Vi siger: Arbegla! Vi har fået modstridende informationer. Det her er et ligningssystem uden en løsning. Vi kalder det et ligningssystem uden løsninger, når linjerne ikke skærer hinanden. Den information, vi har fået, er altså ikke korrekt! Enten har Arbegla løjet for os, hvilket er muligt, eller også er frugtpriserne blevet ændret mellem de 2 besøg på markedet. Idet vi siger det, hvisker fuglen i kongens øre, at vi alligevel ikke er så dårlige til algebra.