If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Gennemgang af substitutionsmetoden (ligningssystemer)

Substitutionsmetoden er en metode til at løse et ligningssystem. Denne artikel gennemgår metoden med flere eksempler og nogle opgaver, hvor du selv kan prøve.

Hvad er substitutionsmetoden?

Substitutionsmetoden er en måde at løse to ligninger med to ubekendte ved at udtrykke en variabel ved hjælp af den anden i én ligning og indsætte den værdi i den anden ligning.

Eksempel 1

Vi bliver bedt om at løse dette ligningssystem:
3x+y=3x=y+3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ x&=-y+3 \end{aligned}
I den anden ligning er x isoleret, så vi kan erstatte x med udtrykket minus, y, plus, 3 i den første ligning:
3x+y=33(y+3)+y=33y+9+y=32y=12y=6 \begin{aligned} 3\blueD{x}+y &= -3\\\\ 3(\blueD{-y+3})+y&=-3\\\\ -3y+9+y&=-3\\\\ -2y&=-12\\\\ y&=6 \end{aligned}
Indsætter vi denne værdi tilbage i en af vores oprindelige ligninger, f.eks. x, equals, minus, y, plus, 3, kan vi isolere den anden variabel:
x=y+3x=(6)+3x=3\begin{aligned} x &= -\blueD{y} +3\\\\ x&=-(\blueD{6})+3\\\\ x&=-3 \end{aligned}
Løsningerne til ligningssystemet er x, equals, minus, 3 og y, equals, 6.
Vi kan tjekke vores løsning ved at indsætte disse tal tilbage i en af de oprindelige ligninger for at se, om den er sand. Lad os prøve med 3, x, plus, y, equals, minus, 3.
3x+y=33(3)+6=?39+6=?33=3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ 3(-3)+6&\stackrel ?=-3\\\\ -9+6&\stackrel ?=-3\\\\ -3&=-3 \end{aligned}
Ja! Den er sand.

Eksempel 2

Vi bliver bedt om at løse dette ligningssystem:
7x+10y=362x+y=9\begin{aligned} 7x+10y &= 36\\\\ -2x+y&=9 \end{aligned}
For at bruge substitutionsmetoden skal vi enten isolere x eller y i en af ligningerne. Lad os isolere y i ligning nummer to:
2x+y=9y=2x+9\begin{aligned} -2x+y&=9 \\\\ y&=2x+9 \end{aligned}
Nu kan vi erstatte y med udtrykket 2, x, plus, 9 i den første ligning:
7x+10y=367x+10(2x+9)=367x+20x+90=3627x+90=363x+10=43x=6x=2 \begin{aligned} 7x+10\blueD{y} &= 36\\\\ 7x+10\blueD{(2x+9)}&=36\\\\ 7x+20x+90&=36\\\\ 27x+90&=36\\\\ 3x+10&=4\\\\ 3x&=-6\\\\ x&=-2 \end{aligned}
Indsætter vi denne værdi tilbage i en af vores oprindelige ligninger, f.eks. y, equals, 2, x, plus, 9, kan vi isolere den anden variabel:
y=2x+9y=2(2)+9y=4+9y=5\begin{aligned} y&=2\blueD{x}+9\\\\ y&=2\blueD{(-2)}+9\\\\ y&=-4+9 \\\\ y&=5 \end{aligned}
Løsningerne til ligningssystemet er x, equals, minus, 2 og y, equals, 5.
Vil du lære mere om substitutionsmetoden? Tjek denne video.

Øvelsesopgaver

Opgave 1
Løs det følgende ligningssystem.
5x+4y=3x=2y15\begin{aligned} -5x+4y &= 3\\\\ x&=2y-15 \end{aligned}
x, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ønsker du mere træning? Tjek denne øvelse.