Aktuel tid:0:00Samlet varighed:6:18

Video udskrift

f af x er lig med 2x i anden plus 15x minus 8. g af x er lig med x i anden plus 10x plus 16. Vi skal finde f over g af x. Vi kan også se det som f divideret med g af x. Ud fra det kan vi få en idé om, hvad det betyder. Vi har altså f over g eller f divideret med g af x. Det er en anden måde at skrive f af x divideret med g af x. Vi kan se det her som en funktion af x, der er fremkommet ved at dividere f af x med g af x. Vi laver et brøkudtryk med f af x i tælleren og g af x i nævneren. Hvad er det lig med? Vi har f af x heroppe. Det er 2x i anden plus 15x minus 8. g af x har vi her. Det skriver vi i blå. Det er x i anden plus 10x plus 16. Vi kunne stoppe her, men vi kan også prøve at reducere det lidt. Lad os gøre det. Den letteste måde at gøre det på er at faktorisere udtrykkene i nævneren og tælleren. Måske kan vi dividere både nævneren og tælleren med det samme udtryk og dermed forkorte brøken. Lad os prøve at faktorisere dem. Lad os starte med tælleren. Det gør vi hernede. Vi har altså 2x i anden plus 15x minus 8. Vi har her et kvadratisk udtryk, fordi der er noget i anden. Vi skal altså faktorisere det her udtryk. Det vi gør er, at vi deler det her led, altså 15x, op i 2 forskellige led. Vi skal dele det op i 2 led, hvor koefficienterne i de 2 nye leds produkt skal være lig med produktet af det første og det sidste led. Vi har bevist, at det virker i andre videoer. Vi skal altså finde 2 tal, der tilsammen giver 15. Deres produkt skal samtidig være lig med minus 16. Når vi faktoriserer, forsøger vi i virkeligheden at reducere og simplificere de udtryk, vi arbejder med. Hvilke 2 tal giver 15, hvis man lægger dem sammen, og 16, hvis man ganger dem med hinanden? Deres produkt skal give et negativt tal. De skal derfor have forskellige fortegn. Et af dem skal være et positivt tal, og et af dem skal være et negativt tal. Det betyder også, at et tal skal være større end 15, og et tal skal være mindre end 15. Det letteste svar må være plus 16 og minus 1. Hvis vi ganger de to tal, får vi minus 16. Hvis vi lægger dem sammen, får vi 15. Det passer. Vi kan altså omskrive det her udtryk til 2x i anden plus 16x minus x minus 8. Det eneste vi har gjort er at lave det her midterste led om til 2 nye led. De 2 nye led giver tilsammen 15x. Nu skal vi til at faktorisere. Først kan vi se, om der er nogle fælles faktorer i de 2 første led. Det er der. Vi kan dividere både 2x i anden og 16x med 2x. Vi kan altså faktorisere 2x ud af de første 2 led. Det her er altså det samme som 2x gange x plus 8. 16 divideret med 2 giver 8, og x divideret med x giver 1. Det her er altså 2x gange x plus 8. Ved de 2 sidste led kan vi faktorisere minus 1 ud. Det er lig med minus 1 gange x plus 8. Nu har vi 2 led, som begge har x plus 8 i dem. Vi kan altså faktorisere x plus 8 ud. Hvis vi gør det, får vi 2x minus 1 gange x plus 8. Vi har altså nu omskrevet tælleren. Man kunne også have brugt kvadratsætningerne. Tælleren er nu 2x minus 1 gange x plus 8. Lad os nu se, om vi kan faktorisere nævneren. Den her er lidt lettere. Koefficienten her er 1. Vi skal nu finde på 2 tal, der giver 16, når vi ganger dem, og 10 når vi lægger dem sammen. Det kunne være 8 og 2. Plus 2 og plus 8. Vi kan derfor skrive det her som x plus 2 gange x plus 8. Nu kan vi reducere. Vi kan dividere både tælleren og nævneren med x plus 8, når vi går ud fra, at x ikke er lig med minus 8. Den her funktion er nemlig ikke defineret, når g af x er lig med 0. I så fald vil vi have noget divideret med 0. Det kan man ikke. g af x er kun lig med 0, når x er lig med minus 2 eller minus 8. Hvis vi dividerer tælleren og nævneren med x plus 8, skal vi huske at skrive, at x ikke kan være lig med minus 8, hvis vi ikke skal ændre funktionens definition. Hvis vi lader de her 2 gå ud uden at gøre det, vil den nye funktion rent faktisk være defineret, når x er lig med minus 8. Når vi reducerer, må vi dog ikke ændre definitionen. Det skal stadig være den samme funktion. Den her funktion er ikke defineret, når x er lig med minus 8. Nu kan vi skrive, at f over g af x er lig med 2x minus 1 over x plus 2. Vi skal samtidig skrive, at x ikke kan være lig med minus 8. Hvis vi ikke skriver det, ville det ikke være samme funktion.