Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:7:12

Finding inverse functions: quadratic

Video udskrift

. Her har vi en funktion. f af x er lig med x plus 2 i anden plus 1, og vi har begrænset væres definitionsmængde. x skal være større end eller lig med minus 2. Det er i det interval, vores funktion er defineret. Vi skal finde den inverse funktion eller den omvendte funktion. Man kan selv tænke over, hvorfor definitionsmængden er begrænset. Det kan være, vi vil se på det i en anden video engang i fremtiden. Lad os finde den inverse funktion her. Når man har en normal funktion, putter man nogle x'er ind, og man får y'er ud. Her er vores ligning x plus 2 i anden plus 1. Vi kan putte et x ind, og så får vi et y ud. Vi vil gå den anden vej rundt, når vi taler om inverse funktioner. Vi vil finde en funktion, hvor vi giver den et y, som så hænger sammen med et x. VI skal altså udtrykke x ved y. Lad os gøre det trin for trin. Vi kan starte med at trække 1 fra på begge sider af ligningen. y minus 1 er lig med x plus 2 i anden. Nu tænker man nok, at vi skal tage kvadratroden for at isolere x, og det er også det rigtige at gøre. Det er dog vigtigt at overveje, om det er den positive eller den negative kvadratrod, vi skal tage. Vi har altså begrænset vores definitionsmængde til at være x er større end eller lig med minus 2. Når x altid er større end eller lig med minus 2, vil den her værdi altså altid være større end eller lig med 0. Det her udtrykt er altså positivt. Det vil det altid være. Vi skal derfor tage den positive kvadratrod. Hvis vi skal tage hensyn til alle de informationer, vi har nu, skal vi altså tage den positive kvadratrod. I en af de næste videoer ser vi på et eksempel, hvor man skal tage den negative kvadratrod. Vi tager altså den positive kvadratrod på begge sider af lighedstegnet. . Vi har altså kvadratroden af y minus 1 er lig med x plus 2. Vi har glemt noget her. Vi har jo hele tiden haft begrænsningen x er større end eller lig med 2. Hvilken begrænsning er der på y? Det kan vi se på grafen. Vi kan selvfølgelig se, at x er større end eller lig med minus 2. . Hvad kan vi sige om y-værdierne? Vi kan se, at y altid vil være større end eller lig med 1. Det ved vi fordi, det her led altid vil være større end eller lig med 0. Funktionsværdien her vil altså aldrig være under 1. Vi kan altså skrive, at det gælder for x er større end eller lig med 2, og det gælder for y er større end eller lig med 1. y er altid større end eller lig med 1. Funktionsværdien er altid større end eller lig med 1. . Vi skriver det her nu, fordi vi senere skal bytte rundt på vores x'er og y'er. Lad os gå videre. Vi har ikke isoleret x endnu her, men vi skriver, at det gælder for y er større end eller lig med 1, for det vil være definitionsmængden for vores inverse funktion. Vi skriver også y er større end eller lig med 1 her. Begrænsningen for y er vigtigst nu. Her var vores definitionsmængde x, men for den inverse funktion vil definitionsmængden være y-værdierne. Lad os gå videre. Vi har kvadratroden af y minus 1 er lig med x plus 2. Nu kan vi trække 2 fra på begge sider. Vi får kvadratroden af y minus 1 minus 2 er lig med x, og det gælder for y er større end eller lig med 1. Nu har vi udtrykt x ved y. Vi kan nu bytte rundt på siderne, så der står x er lig med kvadratroden af y minus 1 minus 2, og det gælder stadig for y er større end eller lig med 1. Vi kan altså nu se, at y nu er vores inputværdier i funktionen, og det er netop den inverse funktion. x-værdierne er nu vures output, og de er derfor værdimængden. Vi kan altså nu skrive f invers af y er lig med kvadratroden af y minus 1 minus 2, og det gælder for y er større end eller lig med 1. Det her er den inverse funktion. Vi kan faktisk sige, at det her er svaret på opgaven. Mange gange vil man dog gerne ende med en funktion af x. Vi ved, at vi kan skrive alt her. Det kunne være a, og så ville vi have f invers af a. Så ville forskriften være kvadratroden af a minus 1 minus 2, og det ville gælde for a er større end eller lig med 1. Vi skriver dog x her. Vi skriver altså x de steder, der står y og omvendt. , Vi bytter rundt på y'er og x'er. Gør vi det, får vi f invers af x. Det er vigtigt at lægge mærke til, at vi bytter rundt på x'er og y'er. f invers af x er lig med kvadratroden af x minus 1 minus 2. . Det gælder for x er større end eller lig med 1. Vi har også lavet y'et i begrænsningen om til x. Vi har altså nu fundet den inverse funktion, og det er også en funktion af x. Lad os nu prøve at tegne grafen for den. Det er nok lettest, hvis vi finder nogle punkter. Den laveste værdi, x kan antage er altså 1. Hvis vi putter 1 ind i funktionen, står der 0 her, så det giver minus 2. Vi har altså punktet 1 komma minus 2 på grafen for den inverse funktion. Det punkt er her. Lad os nu prøve at sætte 2 ind. 2 minus 1 er 1, og kvadratroden af 1 er 1. Minus 2. Det giver altså minus 1, så vi har punktet 2 komma minus 1 her. Hvilke andre tal skal vi tage? Vi tager dem, der giver kvadrattal under kvadratrodstegnet. Lad os putte 5 ind i funktionen. 5 minus 1 er 4. . 5 minus 1 er altså 4. Kvadratroden af 4 er 2. 2 minus 2 er 0. Punktet 5 komma 0 er her. Grafen for den inverse funktion er altså kun defineret for x er større end eller lig med 1. Grafen vil altså se nogenlunde sådan her ud. Den starter sådan her. Det var ikke så pænt. Grafen vil altså se sådan her ud. Sådan. Som vi ved fra introduktionsvideoen til inverse funktioner, kan vi se, at de 2 funktioner er spejlbilleder af hinanden spejlet i linjen y er lig med x. Lad os tegne grafen for y er lig med x. y er lig med x. y er lig med x er den linje her. Bemærk, at det er spejlbilleder af hinanden spejlet i den linje. Her hører 0 sammen med 5. x-værdien 0 hører altså sammen med 5. Her går vi den anden vej. Her hører x-værdien 5 sammen med 0. Det er derfor, det er spejlbilleder. Vi har i virkeligheden byttet rundt på x og y. .