Eksempler på forskydning af funktioner

Vi har her to grafer, der ser ret ens ud. y er lig f(x) og y er lig g(x). Vi skal skrive en forskrift for funktionen g udtrykt med f. Lad os overveje, hvordan vi gør det. Som altid opfordrer jeg dig til at se, om du kan løse den alene. Jeg vil bruge grafens minimum, da det er et nemt punkt at kigge på, fordi begge grafer har det lige her. Hvordan flytter vi f? Hvordan flytter vi dette minimum, så det kommer over i g's minimum? Det først vi kan gøre er at flytte det til venstre. Vi vil flytte det 4 til venstre. -- lad mig gøre det i en anden farve -- Vi flytter det 4 til venstre. Vi har flyttet det 4 til venstre eller flyttet det -4. Man kan sige begge dele. Nu skal vi flytte det nedad. Vi skal flytte fra y lig 2 til y lig -5. Lad mig gøre det. Vi går nedad. Vi flytter det 7 ned, eller flytter det -7. Hvordan skriver vi g(x), når det er en version af f(x), der er forskudt 4 til venstre og 7 ned. Eller du kan sige, den er forskudt -4 vandret og -7 lodret. Man kan gribe det an ved at sige, at g(x) er lig med -- lad mig vælge en mørkere farve -- f(x minus det den vandrette forskydning) plus den lodrette forskydning. Hvad er den vandrette forskydning? Vi flytter mod venstre, så det er en negativ forskydning. Den vandrette forskydning er -4. Hvad er den lodrette forskydning? Vi gik nedad, så den lodrette forskydning er -7. Sådan, vi har g(x) er -- lad mig gøre det i samme farve -- g(x) er lig f(x - (-4)) eller f(x + 4) + (-7) eller f(x + 4) - 7. Og vi er færdige. Når jeg kigge på dette, så giver -7 umiddelbart mening. Grafen blev flyttet nedad, så det giver mening at have -7. Men når du først begynder at lave disse, så siger du, jamen jeg flyttede til venstre, hvorfor er det så +4? Jeg tænker på det således for at få den samme værdi ud af funktionen som f(0), så skal du nu indsætte x er lig -4. Så får du den samme værdi. Du får stadig 0. Jeg ved ikke om det hjælper eller gør det mere indviklet. Det hjælper ofte at prøver for forskellige x værdier og se hvordan de flytter funktionen. Når du forsøger at forstå vandrette forskydninger, så behøver du ikke nødvendigvis at bruge dette eksempel. Brug et eksempel med kun en vandret forskydning, så bliver det lidt nemmere. Vi har mange flere videoer, hvor vi vil forklare det mere i bund. Lad os her lave et eksempel mere. Her har vi y er lig g(x) i lilla og y er lig f(x) i blå. Det er givet, at f(x) er lig kvadratroden af (x + 4) - 2. Skriv et udtryk for g(x) udtrykt med x. Lad mig først prøve, at udtrykke g(x) med f(x). Vi kan se, at det er en forskudt version af f(x). Først skriver jeg det generelt. g(x) er lig med f(x minus den vandrette forskydning) plus den lodrette forskydning. For at gå fra f til g, hvad er så den vandrette forskydning? Den vandrette forskydning er, -- hvis du bruger dette punkt, som flytter over i dette punkt -- 2 til venstre eller en vandret flytning på -2. Hvad er den lodrette forskydning? Vi går fra y er lig -2 til y er lig 3, så vi flytter 5 op. Det er en lodret forskydning på +5. Hvis vi skal skrive g(x) udtrykt med f(x), som vi gjorde i det forrige eksempel, så kan vi sige, at g(x) er lig f(x - (-2)), som bliver (x + 2) og så har vi +5. Det er ikke det vi skal gøre. Vi skal skrive g(x) udtrykt med x. Vi skal derfor bruge forskriften for f(x). Lad mig gøre det helt tydeligt. Vi ved, at f(x) er lig kvadratroden af (x + 4) - 2 Når det er givet, hvad er så f(x + 2)? f(x + 2) betyder, at alle steder vi ser x skal vi erstatte det med (x + 2). Kvadratroden af (x + 2 + 4) - 2. som er lig med kvadratroden af (x + 6) - 2. Det er godt nok. Det er blot f (x + 2). Hvad er f(x + 2) + 5? f(x+2) + 5 bliver dette her plus 5. Så det bliver kvadratroden af (x + 6) - 2 -- jeg lægger 5 til med en anden farve -- + 5. Vi ender med kvadratroden af (x + 6) - 2 + 5, som er lig + 3. Det er lig med g(x). Lad os lige huske, hvad vi gjorde. Først skrev jeg g(x) udtrykt med f(x). Når vi går fra f(x) til g(x), så flytter vi 2 til venstre. +2 svarer til en forskydning på 2 til venstre. -2 er en forskydning på 2 til højre. Som jeg sagde i det forrige eksempel, så er det godt at prøve med nogle x'er og se, hvorfor det giver mening. Så flytter vi 5 op. Det er g(x) udtrykt med f(x). Men vi kender forskriften for f(x). Så vi sagde ok, hvad er f(x + 2)? I f(x + 2) erstatter vi x med (x +2) og får dette. Men g(x) er f(x + 2) + 5. Vi tog f(x + 2) og lagde 5 til og det var g(x). Og vi er færdige.