Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 5

Modul 3: Polynomiers ende-adfærd

Polynomiers ende-adfærd

Lær hvordan et polynomium opfører sig ved meget store x-værdier (både positive og negative), og hvordan vi kan bestemme ende-adfærden algebraisk ud fra polynomiets ligning.

I denne lektion skal vi lære noget om hvordan polynomier opfører sig "langt ude" i hver ende af x-aksen. Både som grafisk aflæsning, men også ud fra polynomiets forskrift.

Hvad menes med "ende-adfærd"?

Ende-adfærden for funktionen

f

beskriver, hvordan grafen for funktionen ser ud i hver "ende" af

x

-aksen.

Med andre ord, hvordan funktionen opfører sig, når vi går meget langt mod højre på

x

-aksen (og

x

går mod

+ \infty

) og når vi går meget langt mod venstre på

x

-aksen (og

x

går mod

- \infty

Lad os se nærmere på grafen for funktionen

f

. Bemærk, hvordan grafen for

f

bliver ved med at vokse, jo længere mod højre vi går på

x

-aksen. Det betyder, jo større

x

bliver, jo større bliver

f (x)

Matematisk ville man skrive dette som

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

. (Og sige "når

x

går mod uendelig, så går

f (x)

mod uendelig.")

Hvis vi i stedet går mod venstre på

x

-aksen (og

x

går mod

- \infty

), så går grafen for

f

nedad. Det betyder, jo mere negativ

x

bliver, des mere negativ bliver

f (x)

Matematisk ville man skrive dette som:

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

. (Og sige "når

x

går mod minus uendelig, så går

f (x)

mod minus uendelig.")

Tjek din forståelse

1) Nedenfor er grafen for ligningen

y = g (x)

vist.

Hvad er ende-adfærden for $g$ ‍?

(Valg A)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg B)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Valg C)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg D)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Når vi går mod højre på

x

-aksen, går grafen for

g

nedad. Det betyder, når

x

går mod

+ \infty

, så går

g (x)

mod

- \infty

Når vi går mod venstre på

x

-aksen, går grafen for

g

opad. Det betyder, når

x

går med

- \infty

, så går

g (x)

mod

+ \infty

Det svarer til følgende ende-adfærd:

Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.

Algebraisk analyse af ende-adfærd

Det er også muligt at bestemme ende-adfærd for et polynomium ud fra dens forskrift. Dette er nyttigt, især hvis man skal tegne grafen for funktionen og dermed skal vide, hvordan den ser ud i "begge ender."

Når man bestemmer ende-adfærd for polynomiet

f

ud fra forskriften, så svarer det til at indsætte en meget stor positiv og meget stor negativ værdi ind i forskriften i stedet for

x

Vi skal altså besvare følgende to spørgsmål:

Når $x \to + \infty$ ‍, hvad går $f (x)$ ‍ mod?
Når $x \to - \infty$ ‍, hvad går $f (x)$ ‍ mod?

Ende-adfærd af ét-leddede størrelser

Ét-leddede størrelser er polynomier med kun ét led og de skrives på formen

y = a x^{n}

, hvor

a

er et reelt tal og

n

er et ikke-negativt heltal.

Lad os lave algebraisk analyse af forskellige ét-leddede størrelsers ende-adfærd og se, om vi kan drage nogle konklusioner.

2) Analyse af

f (x) = x^{2}

Hvilken beskrivelse af $f (x)$ ‍ er korrekt for meget store positive værdier af $x$ ‍?

Hvilken beskrivelse af $f (x)$ ‍ er korrekt for meget store negative værdier af $x$ ‍?

Kvadratet af et stort positivt tal er et stort positivt tal, og kvadratet af et stort negativt tal er ligeledes et stort positivt tal.

For meget store positive værdier af

x

, har

f (x)

en stor positiv værdi og for meget store negative værdier af

x

, har

f (x)

ligeledes en stor positiv værdi.

Det bekræftes af grafen for

y = x^{2}

Med andre ord, når

x

går mod

+ \infty

, så går

f (x)

mod

+ \infty

, og når

x

går mod

- \infty

, så går

f (x)

mod

+ \infty

3) Analyse af

g (x) = - 3 x^{2}

Hvilken beskrivelse af $g (x)$ ‍ er korrekt for meget store positive værdier af $x$ ‍?

Hvilken beskrivelse af $g (x)$ ‍ er korrekt for meget store negative værdier af $x$ ‍?

Kvadratet af et stort positivt tal er et stort positivt tal, og kvadratet af et stort negativt tal er ligeledes et stort positivt tal. Men når vi efterfølgende ganger med

- 3

, så bliver resultatet et stort negativt tal.

For meget store positive værdier af

x

, har

g (x)

en stor negativ værdi og for meget store negative værdier af

x

, har

g (x)

ligeledes en stor negativ værdi.

Det bekræftes af grafen for

y = - 3 x^{2}

Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer op fra venstre rører x aksen i origo vender og fortsætter nedad.

Med andre ord, når

x

går mod

+ \infty

, så går

g (x)

mod

- \infty

, og når

x

går mod

- \infty

, så går

g (x)

mod

- \infty

4) Analyse af

h (x) = x^{3}

Hvilken beskrivelse af $h (x)$ ‍ er korrekt for meget store positive værdier af $x$ ‍?

Hvilken beskrivelse af $h (x)$ ‍ er korrekt for meget store negative værdier af $x$ ‍?

Et stort positivt tal i tredje er et stort positivt tal, hvorimod et stort negativt tal i tredje er et stort negativt tal.

For meget store positive værdier af

x

, har

h (x)

en stor positiv værdi og for meget store negative værdier af

x

, har

h (x)

en stor negativ værdi.

Det bekræftes af grafen for

y = x^{3}

Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer op fra venstre skærer x aksen i origo og fortsætter opad.

Med andre ord, når

x

går moed

+ \infty

, så går

h (x)

mod

+ \infty

, og når

x

går mod

- \infty

, så går

h (x)

mod

- \infty

5) Analyse af

j (x) = - 2 x^{3}

Hvilken beskrivelse af $j (x)$ ‍ er korrekt for meget store positive værdier af $x$ ‍?

Hvilken beskrivelse af $j (x)$ ‍ er korrekt for meget store negative værdier af $x$ ‍?

Et stort positivt tal i tredje er et stort positivt tal, hvorimod et stort negativt tal i tredje er et stort negativt tal. Når vi efterfølgende ganger med

- 2

, så ændres fortegnet.

For meget store positive værdier af

x

, har

j (x)

en stor negativ værdi og for meget store negative værdier af

x

, har

f (x)

en stor positiv værdi.

Det bekræftes af grafen for

y = - 2 x^{3}

Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer ned fra venstre skærer x aksen i origo og fortsætter nedad.

Med andre ord, når

x

går mod

+ \infty

, så går

j (x)

mod

- \infty

, og når

x

går mod

- \infty

, så går

j (x)

mod

+ \infty

Hvad kan vi konkludere?

Lagde du mærke til, hvilken indflydelse både grad

(n)

og koefficient

(a)

har på polynomiets ende-adfærd?

Når

n

er et lige tal, så opfører begge funktionens "ender" sig ens. Koefficientens fortegn bestemmer om begge "ender" går mod

+ \infty

eller

- \infty

Når

n

er et ulige tal, så opfører funktionens "ender" sig modsat af hinanden. Koefficientens fortegn bestemmer, hvilken "ende", der går mod

+ \infty

, og hvilken, der går mod

- \infty

Disse konklusioner er illustreret i tabellen nedenfor.

**Ende-adfærd for ét-leddede størrelser: $f (x) = a x^{n}$ ‍**
$n$ ‍ er lige og $a > 0$ ‍	$n$ ‍ er lige og $a < 0$ ‍
Når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ og når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍. Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer ned fra venstre og rører x aksen i origo vender og fortsætter opad.	Når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ og når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍ Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer op fra venstre og rører x aksen i origo vender og fortsætter nedad.

$n$ ‍ er ulige og $a > 0$ ‍	$n$ ‍ er ulige og $a < 0$ ‍
Når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ og når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍. Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer op fra venstre og går gennem origo og fortsætter opad.	Når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ og når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍ Et koordinatsystem er vist. Grafen kommer ned fra venstre og går gennem origo og fortsætter nedad.

Tjek din forståelse

6) Hvad er ende-adfærden for $g (x) = 8 x^{3}$ ‍?

(Valg A)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg B)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Valg C)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg D)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Ende-adfærd af polynomier

Vi har nu lært, hvordan vi bestemmer ende-adfærd af ét-leddede størrelser. Men hvad med polynomier med flere led, som funktionen

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

Generelt er reglen, at højestegradsleddet, altså det led med den største eksponent, bestemmer polynomiets opførsel for store værdier af

x

Derfor vil

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

have samme ende-adfærd som den ét-leddet størrelse

- 3 x^{2}

Graden af

- 3 x^{2}

er et lige tal

(2)

og koefficienten er negativ

(- 3)

. Derfor har

g

følgende ende-adfærd: når

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

, og når

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Tjek din forståelse

7) Hvad er ende-adfærden for $f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1$ ‍?

(Valg A)
Når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg B)
Når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.
(Valg C)
Når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg D)
Når $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

8) Hvad er ende-adfærden for $g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ‍?

(Valg A)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg B)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Valg C)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg D)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Hvorfor bestemmer højestegradsleddet ende-adfærden?

Højestegradsleddet har den største effekt på funktionsværdierne for meget store værdier af

x

Lad os se nærmere på funktionen

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

for meget store positive værdier af

x

Når

x

går mod

+ \infty

, så går leddet

- 3 x^{2}

mod

- \infty

og leddet

7 x

går mod

+ \infty

Men polynomiets ende-adfærd er summen af disse to led. Lad os indsætte nogle værdier for

x

i forskriften, og se hvad der sker.

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$7 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 7 x$ ‍
$1$ ‍	$- 3$ ‍	$7$ ‍	$4$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$70$ ‍	$- 230$ ‍
$100$ ‍	$- 30.000$ ‍	$700$ ‍	$- 29.300$ ‍
$1000$ ‍	$- 3.000 .000$ ‍	$7000$ ‍	$- 2.993 .000$ ‍

Jo større

x

bliver, jo mere opfører polynomiet sig som leddet

- 3 x^{2}

Lad os give leddet med

x

mere indflydelse. Hvad sker der, hvis vi erstatter leddet

7 x

med

999 x

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$999 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 999 x$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$9.990$ ‍	$9.690$ ‍
$100$ ‍	$- 30.000$ ‍	$99.900$ ‍	$69.900$ ‍
$1000$ ‍	$- 3.000 .000$ ‍	$999.000$ ‍	$- 2.001 .000$ ‍
$10.000$ ‍	$- 300.000 .000$ ‍	$9.990 .000$ ‍	$- 290.010 .000$ ‍

Vi ser den samme udvikling. For meget store værdier af

x

, så opfører polynomiet sig som leddet

- 3 x^{2}

. I dette eksempel skulle der godt nok bruges større værdier af

x

for at illustrere tendensen, men den er der!

Når værdierne af

x

bliver store nok, så er det ligegyldigt, hvilken koefficient

x

-leddet har,

- 3 x^{2}

-leddet vil helt overtage polynomiets opførsel.

Udfordrende opgaver

9*) Hvilken af følgende grafer kunne være grafen for $h (x) = - 8 x^{3} + 7 x - 1$ ‍?

Vi kan bruge funktionens ende-adfærd til at finde den korrekte graf.

Højestegradsleddet er

- 8 x^{3}

, så funktionen

h

vil have den samme ende-adfærd som den ét-leddet størrelse

- 8 x^{3}

Graden af

- 8 x^{3}

er et ulige tal

(3)

og koefficienten er negativ

(- 8)

. Derfor har

h

følgende ende-adfærd:

Når $x \to - \infty$ ‍, $h (x) \to + \infty$ ‍
Når $x \to + \infty$ ‍, $h (x) \to - \infty$ ‍

Kun én af svarmulighederne har denne ende-adfærd:

10*) Hvad er ende-adfærden for $g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}$ ‍?

(Valg A)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg B)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Valg C)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Valg D)
Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Funktionen

g

har samme ende-adfærd som dets højestegradsled.

Vi kan omskrive

g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}

til standard form og derefter finde højestegradsleddet.

\begin{aligned} g (x) & = (2 - 3 x) (x + 2)^{2} \\ = (2 - 3 x) (x^{2} + 4 x + 4) \\ = 2 x^{2} + 8 x + 8 - 3 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x \\ = - 3 x^{3} - 10 x^{2} - 4 x + 8 \end{aligned}

Højestegradsleddet i

g

- 3 x^{3}

, som har en ulige grad

(3)

og en negativ koefficient

(- 3)

. Derfor har

g

følgende ende-adfærd:

Når $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, og når $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.