If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Modul 5: Multiplikation af komplekse tal
Matematik
Algebra 2
Komplekse tal
Multiplikation af komplekse tal
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Multiplikation af komplekse tal

Google Classroom
Lær at gange to komplekse tal. For eksempel gange (1+2i)⋅(3+i).
Et komplekst tal er et vilkårligt tal, der kan skrives som start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, hvor i er den imaginære enhed og start color #1fab54, a, end color #1fab54 og start color #11accd, b, end color #11accd er reelle tal.
Når du ganger komplekse tal, er det nyttigt at huske, at de regneregler vi bruger, når du ganger parenteser ud med reelle tal. De virker på samme måde for komplekse tal.
Nogle gange er det nyttigt at tænke på i som en variabel, f.eks. x. Derved ganger vi komplekse tal, som vi ganger reelle tal, blot med et par nye trin til sidst. Lad os gennemgå nogle eksempler.

Multiplikation af et reelt tal med et komplekst tal

Eksempel

Udregn minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Skriv svaret på standardform a, plus, b, i.

Løsning

Hvis din intuition fortæller dig, at du skal gange minus, 4 ind i parentesen, så har din intuition ret. Lad os gøre det!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
Og var er det! Vi brugte den distributive lov til at gange et reelt tal med et komplekst tal. Lad os prøve noget lidt mere kompliceret.

Multiplikation af et rent imaginært tal med et komplekst tal

Eksempel

Udregn 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Skriv svaret på standardform a, plus, b, i.

Løsning

Lad os igen starte med at gange 2, i ind i parentesen.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
Udtrykket er ikke på formen a, plus, b, i, da det indeholder i, squared.
Da vi ved, at start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, kan vi omskrive udtrykket:
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Ved at bruge den kommutative lov kan vi skrive svaret som 16, plus, 6, i. Så, 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Tjek din forståelse

Opgave 1

Udregn 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Opgave 2

Udregn minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Fremragende! Vi er nu klar til næste trin! Nu kommer en mere typisk opgave, nemlig multiplikation af to komplekse tal.

Multiplikation af to komplekse tal

Eksempel

Udregn left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Skriv svaret på standardform a, plus, b, i.

Løsning

I dette eksempel er det måske en god ide, at tænke på i som en variabel.
Fremgangsmåden, når to komplekse tal skal ganges med hinanden, er meget lig multiplikation af to-leddede størrelser! Gang hvert led i det første tal med hvert led i det andet tal.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Da start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, kan vi erstatte i, squared med minus, 1, så svaret kommer på formen a, plus, b, i.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Tjek din forståelse

Opgave 3

Udregn left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Opgave 4

Udregn left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Opgave 5

Udregn left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Opgave 6

Udregn left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Udfordrende opgaver

Opgave 1

Lad a og b være reelle tal. Hvad er left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Opgave 2

Udregn og reducér. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Skriv dit svar på formen a, plus, b, i.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.