Introduktion til komplekse tal (artikel)

I det reelle talsystem er der ingen løsning til ligningen

x^{2} = - 1

. I denne artikel skal vi undersøge et nyt talsystem, hvor ligningen har en løsning!

Det grundlæggende i dette nye talsystem er den imaginære enhed eller tallet

i

$i^{2} = - 1$ ‍
$\sqrt{- 1} = i$ ‍

Ved at tage multipla af denne imaginære enhed, kan vi skabe uendeligt mange flere nye tal, som

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

. Dette er eksempler på imaginære tal.

Vi kan også addere reelle tal og imaginære tal, for eksempel

2 + 7 i

3 - \sqrt{2} i

. Disse kombinationer kaldes komplekse tal.

Definition af komplekse tal

Et komplekst tal er et vilkårligt tal, der kan skrives som

a + b i

, hvor

i

er den imaginære enhed og

a

b

er reelle tal.

\begin{array}{ccc} a & + & b i \\ ↑ & ↑ \\ Reelle & Imaginære \\ del & del \end{array}

a

kaldes den $reelle$ ‍ del af tallet, og

b

kaldes den $imaginære$ ‍ del af tallet.

Tabellen nedenfor viser eksempler på komplekse tal, med de reelle og imaginære dele identificeret. Nogle syntes, det er lettere at identificere de reelle og imaginære dele, hvis tallet er skrevet på standardform.

Komplekst tal	Standardform $a + b i$ ‍	Beskrivelse af dele
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	Den reelle del er $- 2$ ‍ og den imaginære del er $7$ ‍.
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	Den reelle del er $4$ ‍ og den imaginære del er $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	Den reelle del er $0$ ‍ og den imaginære del er $9$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	Den reelle del er $- 2$ ‍ og den imaginære del er $0$ ‍

Tjek din forståelse

Opgave 1

Hvad er den reelle del af $13, 2 i + 1$ ‍?

Opgave 2

Hvad er den imaginære del af $21 - 14 i$ ‍?

Opgave 3

Hvad er den reelle del af $17 i$ ‍?

Kategorisering af komplekse tal

Vi ved allerede, hvad et reelt tal er, og vi har lige defineret, hvad et komplekst tal er. Lad os nu gå tilbage og give en ordentlig definition af et imaginært tal.

Et imaginært tal er et komplekst tal $a+bi$ ‍, hvor $a=0$ ‍.

Tilsvarende kan vi sige, at et reelt tal er et komplekst tal $a+bi$ ‍, hvor $b=0$ ‍.

Fra den første definition, kan vi konkludere, at ethvert imaginært tal også er et komplekst tal. Ud fra den anden definition kan vi konkludere, at ethvert reelt tal også er et komplekst tal.

Derudover kan der være komplekse tal, der hverken er reelle eller imaginære, som f.eks.

4 + 2 i

\begin{matrix} Komplekse tal \\ \begin{array}{lcr} 4 + 2 i & - 3 - \sqrt{5} i \end{array} \\ \begin{matrix} Reelle tal \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} & - 12, 2 & 3 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} Imaginære tal \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} i & - 12, 2 i & 3 i \end{array} \end{matrix} \end{matrix}

[Hvad med nul?]

Spørgsmål til overvejelse

Er følgende udsagn sandt eller falskt?

Ethvert komplekst tal er enten reelt eller imaginært.

Eksempler

I tabellen nedenfor har vi kategoriseret flere tal som reelle, rene imaginære og/eller komplekse.

	$\begin{aligned} Reelt \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Imaginært \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Komplekst \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1, 3 i \\ (0 + (- 1, 3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

Bemærk, at i tabellen, er alle de viste tal komplekse tal! Dette er sandt generelt!

Nu er det din tur!

Opgave 4

Hvilken slags tal er $- 2 + 3 i$ ‍?

Opgave 5

Hvilken slags tal er $10, 2$ ‍?

Opgave 6

Hvilken slags tal er $- 17 i$ ‍?

Hvorfor er disse tal vigtige?

Så hvorfor benytter vi komplekse tal i det hele taget? Tro det eller ej, komplekse tal har mange applikationer — elektroteknik og kvantemekanik for blot at nævne nogle få!

Der er, ud fra en rent matematisk synsvinkel, noget sejt ved komplekse tal idet, de giver os mulighed for at gøre; at løse alle ligninger med polynomier.

For eksempel har polynomiet

x^{2} - 2 x + 5 = 0

hverken nogen reelle eller imaginære løsninger. Det har dog to komplekse løsninger. Disse er

1 + 2 i

1 - 2 i

I vores videre arbejde med matematik, vil vi lære mere om disse tal, og hvor de anvendes.

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Introduktion til komplekse tal