Kategorisering af komplekse tal

Nu da vi ved en smule om den imaginære enhed i, så lad os reducere nogle mere komplicerede udtryk, som dette her over. 2 + 3i + 7i² + 5i³ + 9i⁴. Sæt videoen på pause og se, om du selv kan løse den. Som du kan se her, så har vi forskellige i'er potenser. Du kan betragte dette i som i¹. Vi har i² og vi ved, at i² er defineret som -1. Så har vi i³. I³ er det samme som i gange dette, så -i. Vi har allerede gennemgået dette, da vi først lærte om den imaginære enhed i, men lad os gør det lige igen. i⁴ er det samme som i gange i³, eller -1 gange i gange i. i gange i er -1, så det er 1- gange -1 , som er 1. Vi kan omskrive hele udtrykket til 2 + 3i -- 7i² ? Her gør vi det samme. i² er -1, så dette er det samme som 7 gange -1 -- -7. Så har vi 5i³. i³ er -i. Dette kan omskrives til -i. Dette led her kan omskrives til -5i. Til sidst har vi, at i⁴ er lig 1. Hele dette led kan reduceres til 9. Kan vi reducere yderligere? Vi har flere led, der ikke er imaginære, som er reelle tal. For eksempel har vi dette 2, som er et reelt tal. -7 er reelt. 9 er et reelt tal. Vi kan lægge disse samen. så 2 plus -7 er -5. -5 plus 9 er 4. De reelle tal bliver 4. Nu har vi disse imaginære tal. Så 3 gange i minus 5 gange i. hvis du har 3 af noget og trækker 5 af det samme noget fra, så har du -2 af dette noget tilbage. Elller koefficienterne er 3 - 5 er -2. 3i'er minus 5i'er det er -2i. Kan vi reducere det yderligere? Nej, det kan vi ikke. Dette her er et reelt tal. 4 er et tal vi har kendt hele vores matematiske karriere. -2i er et imaginært tal. Så vi har 4 -2i. Hele dette udtryk er nu dette tal. Det er et tal, der har en reel del og en imaginær del. Sådanne tal kaldes komplekse tal. Hvorfor er det komplekst? Fordi det har en reel del og en imaginær del. Så siger du, kan alle reelle tal så ikke betragtes som komplekse? Hvis jeg har det reelle tal 3, kan jeg så ikke blot skrive det som 3 + 0i? Og jo, det er korrekt. Alle reelle tal er komplekse tal. Du kan betragte dette som et komplekst tal. Faktisk er reelle tal en undergruppe af komplekse tal. På samme måde som imaginære tal er en undergruppe af komplekse tal. Du kan omskrive i som 0 + i. 0 er et reelt tal. Så imaginære tal er en undergruppe af komplekse tal Reelle tal er en undergruppe af komplekse tal. Komplekse tal har derudover alle disse summer og differenser, eller alle de tal, der både har en reel og en imaginær del.