If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Modul 1: Den imaginære enhed i
Matematik
Algebra 2
Komplekse tal
Den imaginære enhed i
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til imaginære tal

Google Classroom
Lær om den imaginære enhed i, om de imaginære tal, og om kvadratroden af negative tal.
I matematik har du måske bemærket, at nogle kvadratiske ligninger ikke har nogen reelle løsninger.
For eksempel, uanset hvor meget du prøver, vil du aldrig kunne finde et reelt tal som løsning til ligningen x, squared, equals, minus, 1. Dette skyldes, at det er umuligt at kvadrere et reelt tal og få et negativt svar!
Alligevel findes en løsning til ligningen x, squared, equals, minus, 1 i et nyt talsystem kaldet det komplekse talsystem.

Den imaginære enhed

Det grundlæggende i dette nye talsystem er den imaginære enhed eller tallet i.
Følgende er sandt for tallet i:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
Den anden egenskab viser os, at tallet i faktisk er en løsning til ligningen x, squared, equals, minus, 1. Den hidtil uløselige ligning kan nu løses ved at tilføje den imaginære enhed til alle de andre tal vi kender!

Rene imaginære tal

Tallet i står på ingen måde alene! Ved at tage multipla af denne imaginære enhed, kan vi oprette uendeligt mange flere rene imaginære tal.
For eksempel er 3, i, i, square root of, 5, end square root, og minus, 12, i alle eksempler på rene imaginære tal, eller tal på formen b, i, hvor b er et reelt tal, der ikke er nul
Opløftes disse tal i anden, kaster det lidt lys på, hvordan de relaterer sig til de reelle tal. Lad os undersøge dette ved at opløfte tallet 3, i i anden. Potensregnereglerne er de samme, så vi kan kvadrere 3, i ligesom vi plejer.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Ved at bruge det faktum, at i, squared, equals, minus, 1, kan vi omskrive:
(3i)2=9i2=9(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
Da left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9, så er 3, i en kvadratrod af minus, 9.

Tjek din forståelse

Hvad er left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Hvilken af følgende er en kvadratrod af minus, 16?
Vælg 1 svar:

Rene imaginære tal er altså kvadratrødderne af negative tal!

Reducering af rene imaginære tal

Nedenstående tabel viser eksempler på rene imaginære tal i både uforenklet og forenklet form.
Uforenklet formForenklet form
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Men hvordan forenkler vi disse rene imaginære tal?
Lad os se nærmere på det første eksempel og se, om vi kan gennemskue forenklingen.
Oprindelig lighedTankeproces
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}Kvadratroden af minus, 9 er et imaginært tal. Kvadratroden af 9 er 3, så kvadratroden af minus 9 er start text, 3, end text imaginære enheder eller 3, i.
Følgende egenskab forklarer ovenstående "tankeproces" i matematiske termer:
Når a, is greater than, 0, er square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Ved at bruge de regler vi allerede kender for rødder, kan vi nu forenkle alle rene imaginære tal. Lad os se på et eksempel.

Eksempel

Skriv square root of, minus, 18, end square root på forenklet form.

Løsning

square root of, minus, 18, end square root er et imaginært tal, da det er kvadratroden af et negativt tal. Vi kan derfor starte med at omskrive square root of, minus, 18, end square root til i, square root of, 18, end square root.
Derefter kan vi omskrive square root of, 18, end square root ved at bruge de regler, vi allerede kender for rødder.
Forenklingen vises nedenfor.
−18=i18Na˚r a>0, er −a=ia=i⋅9⋅29 er et kvadrattal og en faktor i 18=i9⋅2ab=a⋅b na˚r a,b≥0=i⋅3⋅29=3=3i2Multiplikation er kommutativ\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Når $a>0$, er $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ er et kvadrattal og en faktor i $18$}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ når } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Multiplikation er kommutativ}}} \end{aligned}
Heraf følger det, at square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

Lad os løse nogle opgaver

Opgave 1

Skriv square root of, minus, 25, end square root på forenklet form.

Opgave 2

Skriv square root of, minus, 10, end square root på forenklet form.

Opgave 3

Skriv square root of, minus, 24, end square root på forenklet form.

Hvorfor har vi i det hele taget imaginære tal?

Svaret er enkelt. Den imaginære enhed i giver os mulighed for at finde løsninger på mange ligninger, der ikke har reelle løsninger.
Dette kan synes underligt, men det er faktisk meget almindeligt, at ligninger er uløselige i et talsystem, men kan løses i et andet, mere generelt talsystem.
Her er nogle eksempler, som du måske er mere bekendt med.
  • Vi kan ikke løse x, plus, 8, equals, 1, når vi kun bruger naturlige tal; vi har brug for alle heltal!
  • Vi kan ikke løse 3, x, minus, 1, equals, 0, når vi kun bruger heltal; vi har brug for rationale tal!
  • Vi kan ikke løse x, squared, equals, 2, når vi kun bruger rationale tal; vi har brug for irrationale tal - og dermed alle reelle tal!
Vi kan ikke løse x, squared, equals, minus, 1, når vi kun bruger reelle tal; vi har brug for imaginære tal!
Når du fortsætter med at studere matematik, vil du se betydningen af disse tal.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.