Hovedindhold
Algebra 2
Emne: (Algebra 2 > Emne 2
Modul 1: Den imaginære enhed i- Introduktion til imaginære tal
- Introduktion til imaginære tal
- Omskrivning af kvadratrødder af negative tal
- Reducering af rødder med negative tal
- Potenser af den imaginære enhed
- Potenser af den imaginære enhed
- Potenser af den imaginære enhed
- i som den principale rod af -1
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse
Introduktion til imaginære tal
Lær om den imaginære enhed i, om de imaginære tal, og om kvadratroden af negative tal.
I matematik har du måske bemærket, at nogle kvadratiske ligninger ikke har nogen reelle løsninger.
For eksempel, uanset hvor meget du prøver, vil du aldrig kunne finde et reelt tal som løsning til ligningen x, squared, equals, minus, 1. Dette skyldes, at det er umuligt at kvadrere et reelt tal og få et negativt svar!
Alligevel findes en løsning til ligningen x, squared, equals, minus, 1 i et nyt talsystem kaldet det komplekse talsystem.
Den imaginære enhed
Det grundlæggende i dette nye talsystem er den imaginære enhed eller tallet i.
Følgende er sandt for tallet i:
Den anden egenskab viser os, at tallet i faktisk er en løsning til ligningen x, squared, equals, minus, 1. Den hidtil uløselige ligning kan nu løses ved at tilføje den imaginære enhed til alle de andre tal vi kender!
Rene imaginære tal
Tallet i står på ingen måde alene! Ved at tage multipla af denne imaginære enhed, kan vi oprette uendeligt mange flere rene imaginære tal.
For eksempel er 3, i, i, square root of, 5, end square root, og minus, 12, i alle eksempler på rene imaginære tal, eller tal på formen b, i, hvor b er et reelt tal, der ikke er nul
Opløftes disse tal i anden, kaster det lidt lys på, hvordan de relaterer sig til de reelle tal. Lad os undersøge dette ved at opløfte tallet 3, i i anden. Potensregnereglerne er de samme, så vi kan kvadrere 3, i ligesom vi plejer.
Ved at bruge det faktum, at i, squared, equals, minus, 1, kan vi omskrive:
Da left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9, så er 3, i en kvadratrod af minus, 9.
Tjek din forståelse
Rene imaginære tal er altså kvadratrødderne af negative tal!
Reducering af rene imaginære tal
Nedenstående tabel viser eksempler på rene imaginære tal i både uforenklet og forenklet form.
Uforenklet form | Forenklet form |
---|---|
square root of, minus, 9, end square root | 3, i |
square root of, minus, 5, end square root | i, square root of, 5, end square root |
minus, square root of, minus, 144, end square root | minus, 12, i |
Men hvordan forenkler vi disse rene imaginære tal?
Lad os se nærmere på det første eksempel og se, om vi kan gennemskue forenklingen.
Oprindelig lighed | Tankeproces |
---|---|
Kvadratroden af minus, 9 er et imaginært tal. Kvadratroden af 9 er 3, så kvadratroden af minus 9 er start text, 3, end text imaginære enheder eller 3, i. |
Følgende egenskab forklarer ovenstående "tankeproces" i matematiske termer:
Når a, is greater than, 0, er square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Ved at bruge de regler vi allerede kender for rødder, kan vi nu forenkle alle rene imaginære tal. Lad os se på et eksempel.
Eksempel
Skriv square root of, minus, 18, end square root på forenklet form.
Løsning
square root of, minus, 18, end square root er et imaginært tal, da det er kvadratroden af et negativt tal. Vi kan derfor starte med at omskrive square root of, minus, 18, end square root til i, square root of, 18, end square root.
Derefter kan vi omskrive square root of, 18, end square root ved at bruge de regler, vi allerede kender for rødder.
Forenklingen vises nedenfor.
Heraf følger det, at square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.
Lad os løse nogle opgaver
Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Hvorfor har vi i det hele taget imaginære tal?
Svaret er enkelt. Den imaginære enhed i giver os mulighed for at finde løsninger på mange ligninger, der ikke har reelle løsninger.
Dette kan synes underligt, men det er faktisk meget almindeligt, at ligninger er uløselige i et talsystem, men kan løses i et andet, mere generelt talsystem.
Her er nogle eksempler, som du måske er mere bekendt med.
- Vi kan ikke løse x, plus, 8, equals, 1, når vi kun bruger naturlige tal; vi har brug for alle heltal!
- Vi kan ikke løse 3, x, minus, 1, equals, 0, når vi kun bruger heltal; vi har brug for rationale tal!
- Vi kan ikke løse x, squared, equals, 2, når vi kun bruger rationale tal; vi har brug for irrationale tal - og dermed alle reelle tal!
Vi kan ikke løse x, squared, equals, minus, 1, når vi kun bruger reelle tal; vi har brug for imaginære tal!
Når du fortsætter med at studere matematik, vil du se betydningen af disse tal.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.