If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Introduktion til imaginære tal

Lær om den imaginære enhed i, om de imaginære tal, og om kvadratroden af negative tal.
I matematik har du måske bemærket, at nogle kvadratiske ligninger ikke har nogen reelle løsninger.
For eksempel, uanset hvor meget du prøver, vil du aldrig kunne finde et reelt tal som løsning til ligningen x2=1. Dette skyldes, at det er umuligt at kvadrere et reelt tal og få et negativt svar!
Alligevel findes en løsning til ligningen x2=1 i et nyt talsystem kaldet det komplekse talsystem.

Den imaginære enhed

Det grundlæggende i dette nye talsystem er den imaginære enhed eller tallet i.
Følgende er sandt for tallet i:
  • i=1
  • i2=1
Den anden egenskab viser os, at tallet i faktisk er en løsning til ligningen x2=1. Den hidtil uløselige ligning kan nu løses ved at tilføje den imaginære enhed til alle de andre tal vi kender!

Rene imaginære tal

Tallet i står på ingen måde alene! Ved at tage multipla af denne imaginære enhed, kan vi oprette uendeligt mange flere rene imaginære tal.
For eksempel er 3i, i5, og 12i alle eksempler på rene imaginære tal, eller tal på formen bi, hvor b er et reelt tal, der ikke er nul
Opløftes disse tal i anden, kaster det lidt lys på, hvordan de relaterer sig til de reelle tal. Lad os undersøge dette ved at opløfte tallet 3i i anden. Potensregnereglerne er de samme, så vi kan kvadrere 3i ligesom vi plejer.
(3i)2=32i2=9i2
Ved at bruge det faktum, at i2=1, kan vi omskrive:
(3i)2=9i2=9(1)=9
Da (3i)2=9, så er 3i en kvadratrod af 9.

Tjek din forståelse

Hvad er (4i)2?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Hvilken af følgende er en kvadratrod af 16?
Vælg 1 svar:

Rene imaginære tal er altså kvadratrødderne af negative tal!

Reducering af rene imaginære tal

Nedenstående tabel viser eksempler på rene imaginære tal i både uforenklet og forenklet form.
Uforenklet formForenklet form
93i
5i5
14412i
Men hvordan forenkler vi disse rene imaginære tal?
Lad os se nærmere på det første eksempel og se, om vi kan gennemskue forenklingen.
Oprindelig lighedTankeproces
9=3iKvadratroden af 9 er et imaginært tal. Kvadratroden af 9 er 3, så kvadratroden af minus 9 er 3 imaginære enheder eller 3i.
Følgende egenskab forklarer ovenstående "tankeproces" i matematiske termer:
Når a>0, er a=ia
Ved at bruge de regler vi allerede kender for rødder, kan vi nu forenkle alle rene imaginære tal. Lad os se på et eksempel.

Eksempel

Skriv 18 på forenklet form.

Løsning

18 er et imaginært tal, da det er kvadratroden af et negativt tal. Vi kan derfor starte med at omskrive 18 til i18.
Derefter kan vi omskrive 18 ved at bruge de regler, vi allerede kender for rødder.
Forenklingen vises nedenfor.
18=i18Når a>0, er a=ia=i929 er et kvadrattal og en faktor i 18=i92ab=ab når a,b0=i329=3=3i2Multiplikation er kommutativ
Heraf følger det, at 18=3i2.

Lad os løse nogle opgaver

Opgave 1

Skriv 25 forenklet form.

Opgave 2

Skriv 10 forenklet form.

Opgave 3

Skriv 24 forenklet form.

Hvorfor har vi i det hele taget imaginære tal?

Svaret er enkelt. Den imaginære enhed i giver os mulighed for at finde løsninger på mange ligninger, der ikke har reelle løsninger.
Dette kan synes underligt, men det er faktisk meget almindeligt, at ligninger er uløselige i et talsystem, men kan løses i et andet, mere generelt talsystem.
Her er nogle eksempler, som du måske er mere bekendt med.
  • Vi kan ikke løse x+8=1, når vi kun bruger naturlige tal; vi har brug for alle heltal!
  • Vi kan ikke løse 3x1=0, når vi kun bruger heltal; vi har brug for rationale tal!
  • Vi kan ikke løse x2=2, når vi kun bruger rationale tal; vi har brug for irrationale tal - og dermed alle reelle tal!
Vi kan ikke løse x2=1, når vi kun bruger reelle tal; vi har brug for imaginære tal!
Når du fortsætter med at studere matematik, vil du se betydningen af disse tal.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.