If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Modul 1: Den imaginære enhed i
Matematik
Algebra 2
Komplekse tal
Den imaginære enhed i
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Potenser af den imaginære enhed

Google Classroom
Lær at reducere enhver potens af den imaginære enhed i. For eksempel forenkle i²⁷ som -i.
Vi ved, at i=−1 og at i2=−1.
Men hvad med i3? Og i4? Andre heltalspotenser af i? Hvordan kan vi udregne dem?

Udregne i3 og i4

Vi skal bruge potensregnereglerne! Når vi skal udregne potenser af i, kan vi anvende de potensregneregler vi kender, når eksponenterne er heltal.
Lad os udregne i3 og i4.
Vi ved, at i3=i2⋅i. Men da i2=−1, får vi:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
Vi ved, at i4=i2⋅i2. Igen, da i2=−1, får vi:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1

Flere potenser af i

Lad os fortsætte! Lad os finde de næste 4 potenser af i ved hjælp af en samme metode.
i5=i4⋅iPotensregneregler=1⋅iDa i4=1=ii6=i4⋅i2Potens regneregler=1⋅(−1)Da i4=1 og i2=−1=−1i7=i4⋅i3Potensregneregler=1⋅(−i)Da i4=1 og i3=−i=−ii8=i4⋅i4Potensregneregler=1⋅1Da i4=1=1
Resultaterne er sammenfattet i tabellen.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i−1−i1i−1−i1

Et mønster tegner sig

Potenserne af i danner altså et gentagende mønster med i, −1, −i og 1.
Kan vi bruge dette mønster til at finde i20? Lad os prøve det!
Nedenfor er vist de første 20 tal i det gentagne mønster.
i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1
I følge mønstret skal i20 være lig med 1. Lad os se, om vi kan udregne det samme ved at bruge potensregneregler.
i20=(i4)5Potensregneregler=(1)5i4=1=1Reducering
Begge metoder viser, at i20=1.

Større potenser af i

Hvis vi skal udregne i138, så kunne vi fortsætte mønstret i, −1, −i, 1,... til led nummer 138, men det ville tage meget tid!
Men ved at se nærmere på mønstret, kan vi se, at i4=1, i8=1, i12=1. Det viser sig, at i hævet til et multiplum af 4 er 1.
Vi kan bruge dette faktum sammen med potensregnereglerne til udregne i138.

Eksempel

Udregn i138.

Løsning

138 ikke er et multiplum af 4, men tallet 136 er! Vi kan bruge dette til at udregne i138.
i138=i136⋅i2Potensregneregler=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Potensregneregler=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1
Derfor er i138=−1.
Nu undrer du dig måske over, hvorfor vi valgte at skrive i138 som i136⋅i2.
Hvis den oprindelige eksponent ikke er et multiplum af 4, finder vi bare det nærmeste mindre multiplum af 4. Hvorefter vi kan omskrive potensen til i, i2 eller i3, da i4=1.
Dette tal er nemt at finde, hvis du dividerer den oprindelige eksponent med 4. Det er kvotienten (uden rest) gange 4.

Lad os løse nogle opgaver

Opgave 1

Udregn i227.

Opgave 2

Udregn i2016.

Opgave 3

Udregn i537.

Udfordrende opgave

Hvilken af følgende svarer til i−1?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.