Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 2

Modul 1: Den imaginære enhed i

Potenser af den imaginære enhed

Lær at reducere enhver potens af den imaginære enhed i. For eksempel forenkle i²⁷ som -i.

Vi ved, at i, equals, square root of, minus, 1, end square root og at i, squared, equals, minus, 1.

Men hvad med i, cubed? Og i, start superscript, 4, end superscript? Andre heltalspotenser af i? Hvordan kan vi udregne dem?

Udregne i, cubed og i, start superscript, 4, end superscript

Vi skal bruge potensregnereglerne! Når vi skal udregne potenser af i, kan vi anvende de potensregneregler vi kender, når eksponenterne er heltal.

Lad os udregne i, cubed og i, start superscript, 4, end superscript.

Vi ved, at i, cubed, equals, i, squared, dot, i. Men da i, squared, equals, minus, 1, får vi:

\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}

Vi ved, at i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Igen, da i, squared, equals, minus, 1, får vi:

\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Flere potenser af i

Lad os fortsætte! Lad os finde de næste 4 potenser af i ved hjælp af en samme metode.

\begin{aligned} i^5 &= {i^4\cdot i}&&{\gray{\text{Potensregneregler}}} \\\\ &=1\cdot i&&{\gray{\text{Da }i^4=1}} \\\\ &= \blueD i \\\\ \\\\ i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&{\gray{\text{Potens regneregler}}} \\\\ &=1\cdot (-1)&&{\gray{\text{Da }i^4=1\text{ og }i^2=-1}} \\\\ &=\greenD{-1} \\\\ \\\\ i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&{\gray{\text{Potensregneregler}}} \\\\ &=1\cdot (-i)&&{\gray{\text{Da }i^4=1\text{ og }i^3=-i}} \\\\ &=\purpleD{-i} \\\\ \\\\ i^8 &= {i^4\cdot i^4}&&{\gray{\text{Potensregneregler}}} \\\\ &=1\cdot 1&&{\gray{\text{Da }i^4=1}} \\\\ &=\goldD 1 \end{aligned}

Resultaterne er sammenfattet i tabellen.

i, start superscript, 1, end superscript	i, squared	i, cubed	i, start superscript, 4, end superscript	i, start superscript, 5, end superscript	i, start superscript, 6, end superscript	i, start superscript, 7, end superscript	i, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10	start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Et mønster tegner sig

Potenserne af i danner altså et gentagende mønster med start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab og start color #e07d10, 1, end color #e07d10.

Kan vi bruge dette mønster til at finde i, start superscript, 20, end superscript? Lad os prøve det!

Nedenfor er vist de første 20 tal i det gentagne mønster.

start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10

I følge mønstret skal i, start superscript, 20, end superscript være lig med start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Lad os se, om vi kan udregne det samme ved at bruge potensregneregler.

\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&{\gray{\text{Potensregneregler}}} \\\\ &= (1)^5 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &= \goldD 1 &&{\gray{\text{Reducering}}} \end{aligned}

Begge metoder viser, at i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Større potenser af i

Hvis vi skal udregne i, start superscript, 138, end superscript, så kunne vi fortsætte mønstret start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... til led nummer 138, start superscript, start text, end text, end superscript, men det ville tage meget tid!

Men ved at se nærmere på mønstret, kan vi se, at i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1. Det viser sig, at i hævet til et multiplum af 4 er 1.

Vi kan bruge dette faktum sammen med potensregnereglerne til udregne i, start superscript, 138, end superscript.

Eksempel

Udregn i, start superscript, 138, end superscript.

Løsning

138 ikke er et multiplum af 4, men tallet 136 er! Vi kan bruge dette til at udregne i, start superscript, 138, end superscript.

\begin{aligned} i^{138}&=i^{136}\cdot i^2&&{\gray{\text{Potensregneregler}}} \\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&{\gray{\text{Potensregneregler}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &=1\cdot -1&&{\gray{i^2=-1}} \\\\ &=-1 \end{aligned}

Derfor er i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

Nu undrer du dig måske over, hvorfor vi valgte at skrive i, start superscript, 138, end superscript som i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared.

Hvis den oprindelige eksponent ikke er et multiplum af 4, finder vi bare det nærmeste mindre multiplum af 4. Hvorefter vi kan omskrive potensen til i, i, squared eller i, cubed, da i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.