Introduktion til imaginære tal

I denne video vil jeg introducere tallet i, som også kaldes den imaginære enhed. Du vil opdage at, det er -- det er måske lidt svært at værdsætte lige nu -- det er mere spøjst end nogle af de andre skøre tal vi har lært om i matematik, som pi og e. Det er mere spøjst, fordi det ikke har en håndgribelig værdi på samme måde, som vi er vant til at tal har. i er defineret som det tal, som i anden er lig med -1. Det er definitionen af i og det fører til alle mulige interessante ting. Nogle steder vil du se i defineret som i er lig med kvadratroden af -1. Det er ikke forkert, og det giver mening, når kvadratet på noget er -1, så er dette noget lig kvadratrod af -1. Disse to udsagn siger derfor næsten det samme, men jeg vil gerne have, du er en smule forsigtig her. Nogen vil sige, at dette er forkert. Men det er forkert af dem, at sige at det er forkert. Men du skal være en smule forsigtigt med, hvad kvadratroden af et negativt tal er, og definere det som et imaginært, og som vi snart vil lære, komplekst tal. Men lige nu behøver du ikke skelne mellem dem, ingen ordkløveri i dag. Med denne definition, hvad kan du så forestille dig forskellige potenser med i er? Hvis kvadratet på noget er -1, hvad er så andre potenser? Måske vi får andre underlige ting. Vi skal se, at potenser med i er temmelig sære, da de danner et mønster, som gentages. Lad os starte med i med eksponenten 0. Så siger du nok, noget i nulte er 1. så i⁰ er 1, og det er korrekt. Du kan faktisk se det ud fra definitionen. Det er lige til. Noget i nulte, også i, er 1. Hvad så med i¹? Noget i første er blot tallet selv, så det er i. Når man ved, hvad eksponenter betyder, så giver dette mening. Så har vi i²? i² er per definition lig med -1. Lad os prøve i³ -- jeg bruger en ny farve -- i³ er det samme som i² gange i. Vi ved, at i² er -1, så -1 gange i er -i. Hvad så med i⁴? Det skriver jeg heroppe. i⁴ kan skrives som i gange i³. Hvad er i³? Det er -i. i gange i ville give dig -1. Men du har dette minustegn, så du har -1 gange -1 og du får plus 1. Lad mig lige skrive det. Vi har i gange -i, som er -1 gange -- huske multiplikation er kommutativ, så du kan bytte rundt på rækkefølgen -- så det er -1 gange i gange i. i gange i er per definition -1. -1 gange -1 er plus 1. Så i⁴ er det samme som i⁰. Hvad med i⁵? i⁵ det kan skrives som i⁴ gange i. Vi ved, hvad i⁴ er, det er 1. Så 1 gange i er i. Så det er det samme som i¹. Lad os se, om mønstret fortsætter. Lad os prøve i⁷, nej vi mangler i⁶. i⁶ kan skrives som i gange i⁵. Vi har lige set, at i⁵ er lig med i, så i gange i er per definition -1. Vi kunne fortsætte med større og større eksponenter i potensen med i. Og vi vil opdage, at mønstret gentages. I den næste video vil jeg vise dig, hvordan du bestemmer en hvilken som helst potens med i. Men lad os lige tjekke, om mønstret gentages. i⁷ er lig med i gange i⁶. i⁶ er lig med -1. i gange -1 er -i. i⁸ bliver 1 og i⁹ bliver i og så videre.