If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Ligningssystemer: en linje og en parabel

Et system af ligninger, der indeholder en lineær ligning og en andengradsligning kan løses både grafisk og algebraisk. Hver metode har sine fordele og ulemper. Se et eksempel, hvor begge metoder bruges.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Vi får at vide, at parablen givet ved y = 3x² - 6x +1 og linjen er givet ved y - x + 1 = 0 er tegnet. Vi kan se parablen her i rødt, og vi kan se linjen i blåt. Vi får at vide, at et skæringspunkt er let af aflæse på grafen. Hvad er det? Vi skal indsætte det her. Dette er et screenshot fra øvelsen på Khan Academy, så jeg vil blot skrive det selv. På Khan Academy kan du indtaste svaret. Sæt videoen på pause og se, om du kan svare på den første del. Okay, et af skæringspunkterne er let at aflæse på grafen. Jeg kan se to skæringspunkter. Jeg kan se dette her og dette her. Det andet syntes nemmere at aflæse, når jeg ser på stregerne, så ser det ud til at have værdierne x = 2 og y = 1. Så det er punktet (2,1). Da disse skæringspunkter ligger på graferne for begge ligninger, så betyder det, at begge ligninger opfyldes. Det er en løsning til begge af disse ligninger. Vi skal finde det andet skæringspunkt. Vores svar skal være eksakt. Vi skal finde ud af, hvad dette skæringspunkt er. Det kan vi gøre ved at løse ligningssystemet. Det bliver sjovt, da en af ligningerne i dette system ikke er lineær, men er en andengradsligning. Lad os se, hvordan vi gør det. Lad mig skrive de to ligninger. y = 3x² - 6x + 1. Den anden er y - x + 1 = 0. Vi kan gribe dette an ved at substituere. Hvis jeg kan omskrive denne lineære ligning, så den er løst for y, så kan jeg indsætte værdien af y i den første ligning, altså i andengradsligningen og dernæst forhåbentlig isolere x. Lad os isolere y. -- Jeg bruger forskellige farver -- Den her i rød og den her i blå. Lad os isolere y. Den nemmeste måde at isolere y er at lægge x til og trække 1 fra begge sider. Vi får nu y -- og alt det andet går ud med hinanden -- er lig x - 1. Nu kan vi indsætte x - 1 i stedet for y. Vi får x - 1 er lig 3x² - 6x + 1, Vi vil gerne have 0 på den ene side, så lad os trække x fra. -- det gør jeg i en neutral farve -- Trække x fra og dernæst lægge 1 til på begge sider. Hvad har vi nu? På venstre side har vi 0. På højre side har vi 3x² - 7x + 2 som er lig 0. Nu kan vi forsøge at faktorisere. Er der en indlysende måde at gøre det på? Kan jeg finde 2 tal, a gange b, der er lig produktet af 3 og 2? Hvis dette er nyt, så kan du gennemgå faktorisering med gruppering. De samme to tal, hvor a + b er lig -7? Faktisk virker -6 og -1. Jeg kan omskrive dette til 0 er lig 3x² og i stedet for -7x skriver jeg -6x og -x +2. Jeg har brugt grupperingsmetoden. Hvis du ikke kender den metode, så kan du også bruge løsningsformlen. 0 er lig Jeg kan sætte 3x udenfor disse to, så jeg får 3x(x - 2). Jeg kan sætte -1 udenfor disse to, så jeg får -1(x - 2). Nu kan jeg sætte (x - 2) udenfor parentes. -- jeg laver lige lidt mere plads -- Jeg har 0 = (x - 2)(3x - 1). En løsning til denne ligning er, når en af disse er lig 0. -- jeg laver lige mere plads -- x - 2 = 0 eller 3x - 1 = 0. Det punkt, hvor x - 2 = 0, er ved x = 2. 3x - 1 = 0, lægger 1 til på begge sider. Du får 3x = 1 eller x = 1/3. Vi kender allerede løsningen x = 2. Det er det punkt herover. Det har vi allerede skrevet. Men nu kender vi x-værdien af det andet punkt. Det er x er lig 1/3. Men vi mangler y-værdien. y-værdien er den værdi, der svarer til den x-værdi, som vi kan finde med begge ligninger. Jeg vælger den mere enkle af de to. Vi skal finde ud af, hvad y er, når x = 1/3? Lad os bruge denne ligning. Vi kan bruge den oprindelige ligning, men her er y allerede isoleret. y = 1/3 -1. Jeg indsætter 1/3. Vi får y = -2/3. Det ser korrekt ud. y = -2/3. Punktet er (1/3, -2/3). Og vi er færdige.