Introduktion til ligninger med kvadratrødder

Vi har her en ligning med et rodudtryk 2x - 1 = √(8 - x). Rodudtrykket er allerede isoleret på den ene side af ligningen. Lad os først fjerne rodudtrykket. Lad os tage kvadratet på begge sider af ligningen. Det er derfor det samme som (2x - 1)² er lig kvadratroden af (8 - x) kvadreret. Så får vi 4x² - 4x + 1 = 8 - x. Nu skal vi være lidt påpasselige. Vi syntes, vi har foretaget tilladte operationer. Vi gjorde det samme på begge sider. Så disse to er tilsvarende ligninger. Men de er ikke helt tilsvarende. Når du kvadrerer noget, så kan man sige, at du mister noget information. Dette ville også have været sandt, hvis den oprindelige ligning -- lad mig lige skifte farve -- havde været 2x - 1 = -√(8 - x). N du kvadrerer på begge sider her, så får du også dette her. Fordi noget negativt kvadreret er lig noget positivt. Når vi finder en løsning til denne her, så skal vi tjekke, om det er en løsning til den oprindelige ligning og ikke en løsning til denne her oppe. Hvis det er en løsning til den pink og ikke til den gule ligning, så kalder vi det en falsk løsning. Lad os løse den. Lad os skrive det som en andengradsligning på standard form. Lad os trække 8 fra på begge sider for at fjerne 8 fra højre side. Lad os lægge x til på begge sider. Så har vi 4x² - 3x - 7 = 0. Lad os faktorisere. Nej lad os bruge løsningsformlen. Løsningerne er x er lig -b, så 3, +/- kvadratroden af b², så (-3)², som er 9, - 4 gange a, som er 4, gange c, som er -7 -- Minus gange minus er plus, så jeg skriver + her -- alt dette over 2 gange -a, så 2 gange 4 er 8. Dette bliver 3 +/- kvadratroden af -- 4 gange 4 er 16 gange 7 er 112 -- 9 + 112 er 121. Det ser godt ud. altså +/- √121 over 8 Det er lig 3 +/- 11 over 8. Når vi lægger 11 til, så får vi 14 over 8. Når vi trækker 11 fra, 3 - 11 er -8 over 8 er -1. Vi har altså fundet to løsninger til denne ligning med et rodudtryk. En af dem er løsningen til den alternative version af ligningen, som forsvinder, når vi kvadrerer på begge sider af ligningen. Vi skal derfor finde ud af, om de er løsninger til den oprindelige ligening og ikke den alternative version. Lad os prøve. Lad os prøve x er lig -1. Så får vi (2 gange -1) - 1 = √(8 - (-1)). Det er lig -2 -1 = √9. Så vi har -3 = √9. Dette er ikke sandt. Dette her er derfor en falsk løsning. Men det er en løsning til den ligning her. Når du indsætter (2 ∙ -1) -1 = - √(8 - (-1)), så får du -3 er lig -3. Den virker altså i denne her. Dette er den falske løsning. Denne burde være løsningen til den oprindelige ligning og det kan du selv tjekke. Jeg opforderer dig til at prøve.