Opstilling af eksponentialmodeller

Derek sender et kædebrev til sine venner, og beder dem sende det videre til flere venner. Gruppen af personer, der modtager en email vokser med 9/10 af dens størrelse for hver 3 uger og kan modelleres med funktionen P, som afhænger af tiden t i uger. Derek startede med at sende kædebrevet til 40 venner. Skriv en funktionsforskrift, der modellerer antallet af personer, der har modtaget en email t uger efter Derek sendte den første email. Sæt videoen på pause og prøv selv. Okay, jeg kan godt lige at løse disse opgaver ved at lave en tabel med værdier for t og P(t), som vi kan finde i teksten. Når t er 0, så er der gået 0 uger siden Derek sendte det første kædebrev. Hvor mange personer har fået et? Det får vi at vide. Derek sendte kædebrevet til 40 personer. Når t er 0, så er P(t) eller P(0) lig 40. Hvad vil være et fornuftigt tidsrum? Der står, gruppen vokser med 9/10 for hver 3 uger. Så efter 3 uger, når t er 3, hvad er P(t)? Gruppens vokser med 9/10 af dens størrelse. Den bliver 40 + (9/10 gange 40), som er hvad? Lad os sætte 40 udenfor parentes. 40(1 + 9/10) eller 40 gange 1,9. Man kan også sige efter 3 uger er antallet vokset med 90%. Det svarer til at sige, at gruppen er vokset med 9/10 af dens størrelse. Der kunne stå, at gruppen vokser med 90% for hver 3 uger. Hvis vi forsætter 3 uger frem, som er 6 uger Hvor mange personer har så fået en email? Det bliver dette tal, der er vokset med 90%. Vi skal altså gange med 1,9 igen, så 40 gange 1,9 gange 1,9. Vi er vokset med endnu 9/10. At vokse med 9/10 er det samme som at gange med 1 og 9/10. 1-tallet er, hvad du allerede er, og så vokser du med 9/10. Det er det samme som 40 gange 1,9 opløftet til 2. Vi går endnu 3 uger frem til 9 uger, og vi vokser yderligere 90%. Du skal gange dette tal med 1,9 igen, som er det samme som 1,9 opløftet til 3. Hvad sker der her? Det er en eksponentiel funktion. Vi har vores begyndelsesværdi. For hver 3 uger ganger vi med 1,9. Fremskrivningsfaktoren er 1,9. P(t) er lig med begyndelsesværdien 40 gange fremskrivningsfaktoren 1,9. Der ganges med 1,9 for hver 3 uger. Hvor mange tidsrum på 3 uger er der gået? Vi dividerer derfor t med 3. t divideret med 3 svarer til det antal af tidsrum på 3 uger der er gået. Sådan Når t er lig 0, så får vi 1,9 opløftet til 0, som er 1, så 40 gange 1. Når t er lig 3, så bliver det 1,9 opløftet til 1, fra 3 over 3. Vi er vokset med 90%. Det gik da temmelig godt.