Fortolk tid i eksponentielle modeller

Efter en medicin blev tilsat en bakteriekultur så falder antallet af bakterier hurtigt. Sammenhængen mellem tiden t i sekunder og antallet af bakterier N(t) i kulturen kan modelleres med følgende funktion. Færdiggør sætningen om halveringstiden af bakteriekulturen. Antallet af bakterier halveres hver blank sekunder. Så t er givet i sekunder. Lad os tænke os lidt om. Jeg laver en lille tabel her, hvor vi har t og N(t). Jeg har t er lig 0, når vi starter. Hvis t er 0, så er har vi 1/2 opløftet til 0/5,5, som er 1. Der er 1000 bakterier i kulturen. Hvornår ganger vi med 1/2? Hvornår siger vi 1000 gange 1/2? For at sige 1000 gange 1/2, så skal eksponenten være 1. For hvilket t er eksponenten 1? Eksponenten er 1, når t er lig 5,5 s. Når t er 5,5. Hvis vi venter yderligere 5,5 sekunder altså t lig 11 sekunder, så vil der være 1000 gange 11 divideret med 5,5 er 2, så gange 1/2 opløftet til 2, så 1/2 gange 1/2. For hvert 5,5 sekunder, så vil antallet af bakterier være halvt så stort, som det var for 5,5 sekunder siden. Antallet af bakterier bliver halveret for hver 5,5 sekunder. Du kan se det i selve funktionsforskriften. Men det er altid godt at gennemgå det for at se at det giver mening. Lad os lave et par stykker mere. Det kemiske grundstof einsteinium-253 henfalder med tiden og mister naturligt sin masse. Massen af en prøve af einsteinium-253 blev vejet til 320 gram. Sammenhængen mellem tiden t i dage og massen M(t) i gram af prøven kan modelleres med følgende funktion. Færdiggør sætningen om ændringen i prøvens masse. Prøver taber 87,5% af sin masse for hver blank dage. I stedet for at se, hvor meget noget vokser eller aftager, så står der procentvise ændring. Hvis du mister 87,5%, så har du 12,5% tilbage. Det er det samme som at gange med en faktor på 0,125. Prøvens oprindelige masse skal ganges med 0,125. Eller hvor lang tid tager det for prøven at være 0,125 af sin masse? Her kan vi gøre noget tilsvarende, du kan se 0,125 lige her. Jeg laver en tabel selvom jeg tror du har luret det. I tabellen har vi t og M(t). Når t er 0, så er M(t) lig 320. Til hvilken tid er M(t) lig med 320 gange 0,125? Når man går fra her til der, så mister man 87,5% af sin masse. Dette er -87,5% af massen. Du har mistet 0,875 for at få 0,125. Dette svarer til 0,125 opløftet til 1. Hvad skal t være for at denne eksponent er 1? t skal være 61,4 dage. Nu tror du måske, at man blot altid kan gøre det samme uanset, hvad der end står i nævneren. Husk, altid at tænke dig om, når du laver disse opgaver. Hvis du blot følger et mønster, så lærer du måske ikke så meget. Lad os lave endnu en. Howard tæller, hvor mange grene der er på et træ med tiden. Sammenhængen mellem tiden t i år siden Howard begyndte at tælle grene og antallet af grene N(t) kan modelleres med følgende funktion. Færdiggør sætningen om ændringen i antallet af grene. Howards træ får 4/5 flere grene for hvert blank år. At få 4/5 flere grene er det samme som at gange med -- husk, du får 4/5 af hvad du allerede har, du får ikke tallet 4/5. Det svarer til at gange med 1+ 4/5, eller 9/5. At få 4/5 flere grene er det samme som at gange med 9/5. Hvis jeg er 5 år gammel og bliver 4/5 af min alder ældre, så bliver jeg 4 år ældre og er altså 9 år. Jeg skal gange min alder med 9/5. Howards træ ganges med en faktor 9/5 efter hvor mange år? Fremskrivningsfaktoren er 9/5. Antallet ganges med 9/5 hver gang t ganges med 7,3. Hver gang t øges med 7,3 så bliver eksponenten 1 større og man ganger igen med 9/5. Howards træ får 4/5 flere grene for hvert 7,3 år.