Introduktion til potenser med en rationel eksponent

Vi ved allerede en del om eksponenter. Hvis vi tager tallet 4 og opløfter det til tredje potens, så svarer det til at tage tre 4-taller og gange dem. Men du kan også starte med et 1-tal og gange 1 med 4, eller gange det med 4 tre gange. Uanset så bliver resultatet 4 gange 4 er 16 gange 4 er 64. Vi ved også lidt om negative eksponenter. Hvis vi har 4⁻³, så fortæller dette minus, at vi skal tage det reciprokke i tredje (1/4³). Da vi allerede ved at 4³ er lig 64, så bliver det 1/64 Lad os nu gå videre med brøker som eksponenter. Hvad er 4 opløftet til 1/2? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og tænk over det. Den konvention, som alle bruger, er at 4 opløftet til 1/2 er præcis det samme som kvadratroden af 4. Vi vil snakke om hvorfor det er sådan i en anden video, men det resulterer i alle mulige smarte regneregler du kan bruge, når du omskriver eksponenter. Hvad er kvadratroden af 4? Det er det tal som ganget med sig selv, eller hvis jeg har to af dem og ganger dem sammen og det giver 4. Hvad gange sig selv er 4? Det er naturligvis 2. Blot for at få en ide om, hvorfor dette er så smart, så husk vi kan skrive 4 er lig 2². Du kan begynde, at se noget interessant. 4 opløftet til 1/2 er lig 2, 2 opløftet til 2 er lig 4. Lad os lave et par eksempler mere for at være sikker på du ser, hvad der sker. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve. Ud fra hvad jeg lige har fortalt dig, hvad tror du så 9 opløftet til 1/2 er? Det er jo blot kvadratroden af 9. Kvadratroden af 9 er 3. Vi kan også skrive, at 9 er lig 3 opløftet til 2. Begge disse udsagn er sande. Lad os lave en mere. Hvad er 25 opløftet til 1/2? Det er jo blot 5. 5 gange 5 er 25. Og du kan sige 25 er lig 5 opløftet til 2. Lad os nu overveje, hvad der sker, når noget er opløftet til 1/3. Lad os sige 8 opløftet til 1/3. Definitionen er at noget opløftet til 1/3 er det samme som kubikroden af det tal. Kubikroden betyder, hvilket tal ganget med sig selv tre gange giver 8? Noget gange noget gange noget er 8. Vi ved allerede, at 8 er lig 2 opløftet til 3. Derfor er kubikroden af 8 eller 8 opløftet til 1/3 er lig med 2. Det betyder tallet gange tallet gange tallet som giver 8. Det tal er 2, da 2 opløftet til 3 er 8. Lad os lave et par eksempler mere. Hvad er 64 opløftet til 1/3? Vi ved allerede, at 4 gange 4 gange 4 er 64. Så det bliver 4. Vi har allerede skrevet, at 64 er det samme som 4 opløftet til 3. Jeg tror, du begynder at se et mønster med en smule symmetri. Vi kan udvide dette til vilkårlige rationelle eksponenter. Hvad sker der, hvis vi opløfter -- lad mig finde på et godt tal -- lad os sige 32 opløftet til 1/5? Jeg skal finde det tal, der ganget med sig 5 gange giver 32. 32 er det samme som 2 gange 2 gange 2 gange 2 gange 2. 2 er det tal, som ganget med sig selv 5 gange bliver 32. Vi kan skrive 2 her. Dette er en anden måde at skrive 32 er lig 2 opløftet til 5.