If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 8

Modul 4: Regel for ændring af logaritmers grundtal
Matematik
Algebra 2
Logaritmer
Regel for ændring af logaritmers grundtal
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til ændring af grundtal i en logaritme

Google Classroom
Lær at omskrive en logaritme til en logaritme med et andet grundtal. Dette er meget nyttigt, især når du skal udregne logaritmer med en lommeregner!
Hvad gør vi, hvis vi skal bestemme værdien af log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis? Da 2 skal opløftes til en irrational potens for at få 50, kan vi ikke umiddelbart løse denne opgave uden en lommeregner.
De fleste lommeregnere kan kun udregne værdien af logartimer, hvor grundtallene er 10 og e. Derfor er det nødvendigt (i mange tilfælde) at ændre grundtal i udtrykket log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, før vi kan udregne værdien.

Regel for ændring af grundtal

Vi kan ændre grundtallet i en logaritme ved at bruge følgende regel:
Noter:
  • Når du bruger denne regel, kan du vælge hvilken som helst værdi af start color #0d923f, x, end color #0d923f, når blot du husker:
  • alle argumenter i en logaritme skal være positive og grundtallet skal være et positivt tal forskelligt fra 1!

Eksempel: Udregn log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Hvis formålet med at ændre grundtallet af en logaritme er at udregne dets værdi, så er det en fordel at vælge enten 10 eller e, da de fleste lommeregnere kan udregne disse. Tasterne log og ln.
Lad os ændre grundtallet af log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis til start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Vi skal altså indsætte værdierne b, equals, 2, a, equals, 50 og x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Regel for ændring af grundtal=log⁡(50)log⁡(2)Dalog⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&{\gray{\text{Regel for ændring af grundtal}}} \\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Da} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Vi kan nu bruge en lommeregner til at udregne værdien.
start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, approximately equals, 5, comma, 644

Tjek din forståelse

Opgave 1
Udregn log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 2
Udregn log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 3
Udregn log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Udledning af regel for ændring af grundtal

Nu tænker du måske, "Ok, men hvorfor virker denne regel?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction
Lad os starte med et konkret eksempel og vise, hvorfor log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
Lad os definere n som værende lig med log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis og skrive ligningen log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n. Fra definitionen af logaritmer følger det, at 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50. Nu kan vi løse denne ligning for n.
2n=50log⁡(2n)=log⁡(50)Hvis A=B, sa˚ er log⁡(A)=log⁡(B)nlog⁡(2)=log⁡(50)3. logaritmeregeln=log⁡(50)log⁡(2)Division pa˚ begge sider medlog⁡(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log(2^n) &= \log(50)&&{\gray{\text{Hvis }A=B\text{, så er }\log(A)=\log(B)}} \\\\ n\log(2)&=\log(50)&&{\gray{\text{3. logaritmeregel}}} \\\\ n &= \dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Division på begge sider med} \log(2)}} \end{aligned}
Da n blev defineret som log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, så har vi vist, at log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
Ved at bruge samme ræsonnement kan vi bevise reglen for ændre grundtal. Vi erstatter blot 2 med b, 50 med a og vælger ethvilket som helst grundtal x, som det nye grundtal!

Udfordrende opgaver

Udfordrende opgave 1
Udregn start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction uden at bruge en lommeregner.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Udfordrende opgave 2
Hvilket udtryk er tilsvarende med log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.