If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Beregning af logaritmer: regel for ændring af grundtal

Sal finder den tilnærmede værdi af log₅(100) ved først at bruge reglen for ændring af grundtal til at omskrive det til log(100)/log(5) og derefter udregne værdien med en lommeregner. Lavet af Sal Khan og Montereys Institut for teknologi og undervisning.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Brug reglen for ændring af grundtal til at udregne log₅(100) til nærmeste tusindedel. Reglen for ændring af grundtal er meget nyttig, især hvis du skal bruge en lommeregner, da de fleste lommeregnere ikke kan ændre en logaritmes grundtal. De har kun funktionerne for logaritmen med grundtal e, den naturlige logaritme og 10tals-logaritmen. Derfor har du brug for at ændre grundtal. Det kan reglen for ændring af grundtal bruges til. Hvis vi har tid, vil jeg vise dig, hvorfor det giver mening og hvor den kommer fra. Reglen for ændring af grundtal siger, at logₐ(b) er det samme som logₓ(b), hvor x er en vilkårligt tal, divideret med logₓ(a). Denne regel er meget nyttig, da vi kan ændre grundtallet. Her er grundtallet a og vi kan ændre det til x. Hvis vores lommeregner kun kan bruge grundtallet x, så kan vi omskrive til dette grundtal. Det er som ofte e eller 10. Grundtal 10 er altid godt at bruge. Når man skriver log(x), så betyder det at grundtallet er 10. Hvis man skriver ln(x), så betyder det at grundtallet er e. e er naturligvis tallet 2,71... som fortsætter for evigt. Lad os bruge reglen til at løse opgaven. Vi skal udregne log₅(100). Reglen for ændring af grundtal siger, at det svarer til log₁₀(100) divideret med log₁₀(5). Faktisk behøver vi ikke en lommeregner for at udregne den øverste del. 10tals-logaritmen til 100 betyder, hvad skal jeg opløfte 10 til for at få 100? Anden potens. Så tælleren er lig 2. Vi har nu 2 over log₁₀5. Nu kan vi bruge en lommeregner, da logaritmeknappen på en lommeregner har grundtal 10. Lad os hente lommeregneren. 2 divideret med -- når vi bruger log udregnes 10tals-logaritmen, når vi bruger ln, så er grundtallet e. Log alene betyder 10tals-logaritmen -- log₁₀5 er lig 2 komma afrundet til nærmeste tusindedel er omkring 2,861. Vi kan tjekke svaret, da 5 opløftet til dette bør være 100. Det passer vist meget godt, da 5 opløftet til 2 er 25 og 5 opløftet til 3 er 125. Dette ligger mellem de to og er tættere på 3 end på 2. og dette tal er tættere på 3 end 2. Lad os tjekke det. 5 opløftet til dette tal, -- lad mig lige indtaste vores afrundet tal -- 5 opløftet til 2,861, jeg indtaster ikke alle cifrene, hvad får jeg? Jeg får 99,94. Hvis jeg puttede alle cifrene ind, så bliver det nok ret tæt på 100. Dette er det tal, jeg skal opløfte 5 til for at få 100. Med det sagt, lad os snakke om, hvorfor denne regel giver mening. Hvis jeg skriver logₐ(b) og det er lig et tal, som vi kan kalde c. Så er a opløftet til c er lig b. Dette er på eksponentiel form. Dette er på logaritmisk form. Dette er lig b. Vi kan tage logaritmen med et hvilket som helst grundtal på begge sider. 10 opløftet til hvad er lig dette? 10 opløftet til samme potens er lig dette, da de to sider er lig hinanden. Lad os tage logaritmen med samme grundtal på begge sider. Jeg skriver her logaritmen med grundtal x for at vise reglen generelt. Jeg tager logaritmen med grundtal x på begge sider. Det bliver logₓ(a^C) er lig logₓ(b). Vi ved fra logaritmereglerne, at logaritmen til a opløfte til C er det samme som C gange logₓ(a) som er lig logₓ(b). Hvis vi isolerer C, så dividerer vi begge sider med logₓ(a). C = logₓ(b) / logₓ(a). C var logₐ(b). Lad mig skrive det igen med de rigtige farver. Jeg tror du kan se, hvor det bær hen, men jeg vil lige bruge de rigtige farver. C er lig logₓ(b) / logₓ(a). Og vi ved, at dette også er lig C. Det var sådan vi definerede det. Lad mig kopiere det. Dette er også lig C. Og vi er færdige. Vi har bevist reglen for ændring af grundtal. logₐ(b) er lig logₓ(b) / logₓ(a). I dette eksemepl var a lig 5, b var 100. og vi ændrede grundtal til 10. x var 10.